Мощность семейства подмножеств натурального ряда

[gosetrov]

Может ли семейство подмножеств натурального ряда быть несчётным, если любые два его элемента имеют конечную симметрическую разность?

Подскажите, пожалуйста, корректно ли такое рассуждение:

Пусть $F, \forall i,j, A_i_,_j \in F, \left\lvert A_i \triangle A_j \right\rvert < \aleph_0$. Возьмем $A$ произвольный элемент $F$, тогда $\forall B \in F, \left\lvert B \setminus A \right\rvert < \aleph_0, \left\lvert A \setminus B \right\rvert < \aleph_0$, из $\left\lvert A \setminus B \right\rvert < \aleph_0$ следует что $B$ должно содержать все элементы $A$ кроме быть может конечного их числа, из $\left\lvert B \setminus A \right\rvert < \aleph_0$ следует что помимо элементов $A$ в $B$ может содержаться не более конечного числа других элементов, таким образом таких $B$ может быть не более чем $\aleph_0 \times \aleph_0 = \aleph_0$(мощность множества всех конечных подмножеств счетного множества $\leqslant \aleph_0$ ), следовательно $F$ не может быть счетным.

[Null]

Похоже на правду.

[gosetrov]

gosetrov в сообщении #1633730 писал(а):

следовательно $F$ не может быть счетным.

$F$ не может быть несчетным разумеется.