Задача о трех элементах в группе

[A.M.V.]

Задача. Пусть G-группа. Среди любых трех элементов в ней найдутся два перестановочных. Доказать, что G - абелева.
Решение. Пусть $a,b,c \in G$. $a,b$ и $b,c$ - перестановочны. Значит $abc=acb=bac, cba=bca=cab$. Как доказать равенство этих троек?

[dgwuqtj]

Вообще из $ab = ba$ и $bc = cb$ не следует $ac = ca$, так что и доказать равенство троек только из этих двух равенств нельзя. А если $a, b$ или $b, c$ не перестановочны, что тогда?

[A.M.V.]

Взяли по условию два коммутирующих между собой элемента. Пусть это пары а, в и в, с без ограничения общности.

[dgwuqtj]

Это вы 2 пары взяли, а не одну пару. И только их перестановочности недостаточно.

[A.M.V.]

Хорошо. Что еще учесть?

[Snow1]

Рассмотрите тройку элементов $a, b, ab$.