Задача о порядках элементов

[A.M.V.]

Необходимо показать, что порождающее множество группы состоит из элементов либо конечного, либо бесконечного порядков.

Решение. Пусть один элемент конечного порядка, второй - бесконечного.
Хочется получить противоречие.

[dgwuqtj]

Вот вам группа $\mathrm D_\infty = \langle a, b \mid a^2 = 1, aba^{-1} = b^{-1} \rangle$. Противоречия нет.

[A.M.V.]

Значит порождающее множество может содержать как элементы конечного, так и бесконечного порядков. Что тогда нужно для решения задачи? Элементы бывают конечного порядка, бесконечного и третьего не дано. Любые мы можем загнать в порождающее множество. И что?

[Someone]

A.M.V., а точную формулировку задачи увидеть можно?

[A.M.V.]

Привожу точную формулировку задачи 3.39 с. 31 (Белоногов В.А. Сборник задач по теории групп М.-Наука, 2000 г).

3.39. Каждая группа имеет порождающее множество, порядки элементов которого либо все конечны, либо все бесконечны.

[Someone]

Ну, это совсем другая задача, чем в вашем стартовом сообщении. Оказывается, речь идёт о существовании такого порождающего множества, а не о том, что всякое порождающее множество такое.
Задача состоит в том, чтобы для заданной группы построить порождающее множество, в котором либо все элементы имеют конечный порядок, либо все — бесконечный.