опять ряд

[daogiauvang]

Функция определяется рядом $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.
Показать,что: $f(x)+f(1-x)= f(1)-\ln x \ln (1-x)$

[Cave]

$f'(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} = -\frac{\ln(1-x)}{x}$, поэтому $f'(1-x) = -\frac{\ln x}{1-x}$ и $f'(x)-f'(1-x)=-\frac{\ln(1-x)}{x}+\frac{\ln x}{1-x}$.
Интегрируя обе части равенства по $x$ имеем: $f(x) + f(1-x) = -\ln x\ln(1-x) + C$, где $C$ - константа. Она находися из подстановки $x=0$ или $x=1$ в получившееся равенство.
Например, устремим $x$ к $0$, тогда левая часть в силу непрерывности $f(x)$ стремится к $f(1) + f(0) = f(1)$, а правая - к $C$, так как $ln(1-x)=O(x), x\ln x = o(1)$ при $x\to 0$, откуда $C=f(1)$.