Аргумент корня из комплексного числа

[Ёж]

Добрый день!
Известна формула извлечения корня из комплексного числа

$$ \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{|z|} \left(\cos \frac{\arg z+2k\pi}{n}+\sin \frac{\arg z+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,1,2,\ldots,n-1. $$

Подскажите, пожалуйста, верно ли

$$ Arg \sqrt[n]{z}=\frac{\arg z+2k\pi}{n}, $$

или правильнее будет

$$ Arg \sqrt[n]{z}=\frac{\arg z+2k\pi}{n}+2m\pi,\quad m\in\mathbb{Z} $$

[Slav-27]

Что вы думаете про случай $n=1$, какая формула правильнее?

[Ёж]

Slav-27 в сообщении #1632673 писал(а):

Что вы думаете про случай $n=1$, какая формула правильнее?

Думаю, что здесь $n>1$.

[EUgeneUS]

Ёж
Напишите определение аргумента комплексного числа.

[Slav-27]

Ёж в сообщении #1632674 писал(а):

Думаю, что здесь $n>1$.

Ответ на вопрос из 1-го поста одинаковый для $n=1$ и для $n>1$. Поэтому предлагаю всё же разобрать случай $n=1$ как самый простой.

[Ёж]

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол $\varphi$ между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа $z $ измеряется в радианах и обозначается $Arg z$.

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2 \pi k$, где $k$ - любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение $\varphi$, что $- \pi < \varphi\leq \pi$ . Главное значение обозначается $\arg z$

-- Ср мар 13, 2024 21:19:01 --

Slav-27 в сообщении #1632686 писал(а):

Ответ на вопрос из 1-го поста одинаковый для $n=1$ и для $n>1$. Поэтому предлагаю всё же разобрать случай $n=1$ как самый простой.

$$ z=|z| \left(\cos Arg z +\sin Arg z\right)= |z| \left(\cos (\arg z+2k\pi)+\sin (\arg z+2k\pi)\right)=|z| \left(\cos \arg z+\sin \arg z\right). $$

[EUgeneUS]

Ну вот.
Оказывается, что есть два разных аргумента комплексного числа.
1. Собственно аргумент - многозначная функция $Arg(z)$.
2. И аргумент, в смысле главного значения - однозначная функция $\arg(z)$

Впрочем, соглашение об обозначениях может быть и обратным.

Теперь второй вопрос. Когда Вы спрашивали:

Ёж в сообщении #1632671 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, верно ли

$$ Arg \sqrt[n]{z}=\frac{\arg z+2k\pi}{n}, $$

или правильнее будет

$$ Arg \sqrt[n]{z}=\frac{\arg z+2k\pi}{n}+2m\pi,\quad m\in\mathbb{Z} $$

Вы имели в виду аргумент, как многозначную функцию; или аргумент, в смысле главного значения?

-- 13.03.2024, 20:27 --

Ёж в сообщении #1632724 писал(а):

$$ z=|z| \left(\cos Arg z +\sin Arg z\right)= |z| \left(\cos (\arg z+2k\pi)+\sin (\arg z+2k\pi)\right)=|z| \left(\cos \arg z+\sin \arg z\right). $$

Кстати, записывая комплексное число в таком виде, Вы постоянно забываете мнимую единицу перед синусом. Не нужно так поступать.

[Ёж]

EUgeneUS в сообщении #1632728 писал(а):

Вы имели в виду аргумент, как многозначную функцию; или аргумент, в смысле главного значения?

$Arg (z)$ - многозначная функция, а $\arg (z)$ - в смысле главного значения

Спрашивал в смысле многозначной функции.

[EUgeneUS]

Ёж в сообщении #1632743 писал(а):

$Arg z$ - многозначная функция, а $\arg z$ - в смысле главного значения

Тогда и ответ на Ваш вопрос очевиден.
Только обычно в этой формуле и справа, и слева подразумевают аргумент, в смысле главного значения. Тогда опять же ответ очевиден, но другой.

[Ёж]

т.е.

$$ Arg (\sqrt[n]{z})=\frac{\arg z+2k\pi}{n}+2m\pi,\quad k=0,1,2,..,(n-1),\quad m\in\mathbb{Z} $$

$$ \arg (\sqrt[n]{z})=\frac{\arg z+2k\pi}{n},\quad k=0,1,2,...,(n-1) $$

[EUgeneUS]

Как-то так.
Для $n=1$ тоже всё верно получается, кстати.
Не уверен только, что первый вариант принято записывать, да и где бы это было нужно....

[dgwuqtj]

Ёж в сообщении #1632748 писал(а):

$$ \arg (\sqrt[n]{z})=\frac{\arg z+2k\pi}{n},\quad k=0,1,2,...,(n-1) $$

Это всё-таки неверно, если аргумент у вас принимает значения из $(-\pi, \pi]$. Можете проверить при $n = 2$ и $z = -1$.

[Ёж]

EUgeneUS в сообщении #1632750 писал(а):

Как-то так.
Для $n=1$ тоже всё верно получается, кстати.
Не уверен только, что первый вариант принято записывать, да и где бы это было нужно....

Данный вопрос возник при доказательстве равенства $Arg (\sqrt[n]{z})=\frac{Arg (z)}{n}$

-- Чт мар 14, 2024 09:21:46 --

dgwuqtj в сообщении #1632761 писал(а):

Ёж в сообщении #1632748 писал(а):

$$ \arg (\sqrt[n]{z})=\frac{\arg z+2k\pi}{n},\quad k=0,1,2,...,(n-1) $$

Это всё-таки неверно, если аргумент у вас принимает значения из $(-\pi, \pi]$. Можете проверить при $n = 2$ и $z = -1$.

Спасибо большое за хороший пример!

[EUgeneUS]

Ёж в сообщении #1632775 писал(а):

Данный вопрос возник при доказательстве равенства $Arg (\sqrt[n]{z})=\frac{Arg (z)}{n}$

Тут нужно понимать, что $Arg()$ оказалась уже не просто многозначной функцией комплексного переменного. На вход ей теперь можно подать несколько различных комплексных чисел, а на выходе получить перечисление возможных аргументов всех их.

[Ёж]

Спасибо большое! Разобрался!