Изоморфизм между симплексами и перестановками

[Ludi]

Требуется доказать, что полная группа правильного n-мерного симплекса изоморфна группе перестановок $S_n+1$, а собственная группа -- группе четных перестановок $A_n+1$.

Ощущение, что я не понимаю нечто крайне простое, и мне хотелось бы разобраться в теме, чтобы решить данную задачу. Поэтому крайне прошу вас посоветовать, что мне следует прочесть и прорешать.

[dgwuqtj]

Напишите для начала, что такое полная группа правильного $n$-симплекса. Если она определяется геометрически, то можно построить гомоморфизм из группы перестановок в неё (найдя $n + 1$ переставляющийся объект), а потом уже доказывать, что это изоморфизм.

[Ludi]

До меня вроде как дошло. Берем вершину А, перемещаем ее в n+1 возможную вершину. Осталось n вершин, все соединены между собой, поэтому можем тоже переместить в любые n вершин, то бишь если грамотно оформить -- индукция случится. Но как доказать, что сохраняя ориентацию, мы сделаем штуку изоморфной группе четных перестановок порядка n+1?

[dgwuqtj]

Например, можно проверить, что транспозиции (перестановки, переставляющие пару вершин местами), меняют ориентацию.

[Ludi]

Не изменяют ориентацию повороты. Если бы я смог доказать, что поворот является произведением четного числа транспозиций (то бишь симметрий относительно n-1-мерной гиперплоскости), то тогда бы изоморфизм построился бы. Проблема для меня заключается в том, что я не могу определить поворот симплекса в n-мерном пространстве.

[dgwuqtj]

Ну так транспозиции - это не повороты, они же должны менять ориентацию. Поворотом по идее надо называть движение, которое поточечно сохраняет $(n - 2)$-мерное подпространство и сохраняет ориентацию. Например, так выглядят собственные симметрии тетраэдра, сохраняющие вершину.