Пересечение и явная сумма пространств решений единичных СЛАУ

[Kapnal Loga]

Пусть $X$ столбец из n единиц, $Y$ строка из n единиц, $U$ — множество квадратных матриц таких, что $AX=0$, $V$ — множество квадратных матриц таких, что $YA=0$. Нйдите а) размерность пересечения б) явно опишите сумму этих пространств.

При пересечении мы получаем матрицу, у которой каждая строчка и каждый столбец в сумме 0? Размерность тогда $n^2-n$? Как описать это сумму явно понятия не имею. С чего начинать?

[dgwuqtj]

Kapnal Loga в сообщении #1630883 писал(а):

При пересечении мы получаем матрицу, у которой каждая строчка и каждый столбец в сумме 0?

Да.

Kapnal Loga в сообщении #1630883 писал(а):

Размерность тогда $n^2-n$?

С чего бы? По идее, такая размерность у $U$ и $V$. Можете начать со случаев $n = 1$ и $n = 2$.

[Kapnal Loga]

dgwuqtj в сообщении #1630898 писал(а):

Kapnal Loga в сообщении #1630883 писал(а):

При пересечении мы получаем матрицу, у которой каждая строчка и каждый столбец в сумме 0?

Да.

Kapnal Loga в сообщении #1630883 писал(а):

Размерность тогда $n^2-n$?

С чего бы? По идее, такая размерность у $U$ и $V$. Можете начать со случаев $n = 1$ и $n = 2$.

Я не понимаю, каким вообще образом ищется размерность у матрицы, базис искать как-то? Где можно найти пример или как действовать здесь?

[dgwuqtj]

Вот возьмём для примера случай $n = 2$. Матрицы образую четырёхмерное пространство, в нём у вас заданы подпространства $U$ и $V$ при помощи уравнений. Для начала можно эти уравнения явно выписать, ну и найти базисы, если хочется. Хотя бы и методом Гаусса.

[Kapnal Loga]

dgwuqtj в сообщении #1631001 писал(а):

Вот возьмём для примера случай $n = 2$. Матрицы образую четырёхмерное пространство, в нём у вас заданы подпространства $U$ и $V$ при помощи уравнений. Для начала можно эти уравнения явно выписать, ну и найти базисы, если хочется. Хотя бы и методом Гаусса.

Четырехмерное потому что 4 элемента?
Нас интересует размерность пересечения, пусть в нем матрица

a b
c d

Она задаётся уравнениями $a+b=0, c+d=0, a+c=0, b+d=0$ общее решение $(a,b,c,d)=(d,-d,-d,d)$. И что из этого следует?

[dgwuqtj]

Kapnal Loga в сообщении #1631016 писал(а):

Четырехмерное потому что 4 элемента?

Потому что 4 базисные матрицы $e_{ij}$.

Ну вот вы нашли общее решение. Отсюда можно найти размерность пространства решений, то есть $\mathrm{dim}(U \cap V)$.

[Kapnal Loga]

dgwuqtj в сообщении #1631036 писал(а):

Kapnal Loga в сообщении #1631016 писал(а):

Четырехмерное потому что 4 элемента?

Потому что 4 базисные матрицы $e_{ij}$.

Ну вот вы нашли общее решение. Отсюда можно найти размерность пространства решений, то есть $\mathrm{dim}(U \cap V)$.

Получится:
$x_1-x_2=0 -x_3+x_4=0 x_1-x_3=0 -x_2+x_4=0$
Получится, что каждый х равен какой-то константе. Размерность 0? Аналогично для 3×3 размерность 3?

[dgwuqtj]

Kapnal Loga в сообщении #1631040 писал(а):

Размерность 0?

Вот откуда это взялось? Напишите явно базис, раз уж общее решение имеется. Подсказка: так как есть ненулевое решение (ненулевой элемент в $U \cap V$), то размерность точно положительная.

[Kapnal Loga]

dgwuqtj в сообщении #1631043 писал(а):

Kapnal Loga в сообщении #1631040 писал(а):

Размерность 0?

Вот откуда это взялось? Напишите явно базис, раз уж общее решение имеется. Подсказка: так как есть ненулевое решение (ненулевой элемент в $U \cap V$), то размерность точно положительная.

Линейную оболочку для 2×2 можно записать как <(1,1)>, т.е. размерность 1, а не 0, перепутал с сдвигом на вектор. Так? И для 3×3 в таком случае 4?
П.С. я ведь вроде в начале перепутал, написав, что система с четырьмя неизвестными, это коэффициентов 4 а неизвестных 2.

[dgwuqtj]

Да, размерности именно такие.

[Kapnal Loga]

dgwuqtj в сообщении #1631045 писал(а):

Да, размерности именно такие.

Для случая $n=1$ размерность 1, если не ошибаюсь.
Получается:
n=1 — 1
n=2 — 1
n=3 — 4
Как построить закономерность для любого n?

[dgwuqtj]

При $n = 1$ неправильно, там $U = V = 0$. А зачем вам закономерность, через индукцию хотите попробовать?

[Kapnal Loga]

dgwuqtj в сообщении #1631056 писал(а):

При $n = 1$ неправильно, там $U = V = 0$. А зачем вам закономерность, через индукцию хотите попробовать?

Я пытаюсь что-то выстроить из размерности поля матриц этого размера и СЛАУ пересечения. Не может ли такого быть, что для задания пространства пересечения через СЛАУ достаточно 2n-1 уравнений? Хотя они вроде не повторяются.

[dgwuqtj]

Они, конечно, не повторяются (при $n > 0$), но между ними есть простая линейная зависимость.

[Kapnal Loga]

dgwuqtj в сообщении #1631061 писал(а):

Они, конечно, не повторяются (при $n > 0$), но между ними есть простая линейная зависимость.

В уравнениях с иксами есть линейная зависимость? Для 2×2 это простое умножение на -1, но как их отслеживать в дальнейшем, это меняет количество уравнений, может лишь одно... Но вроде бы нет.