Задача на пересечение множеств

[Kapnal Loga]

В шестимерном пространстве выбирают пятимерные подпространства так, чтобы пересечение всех этих подпространств являлось прямой. Какое наименьшим количеством подпространств можно получить прямую?

Я понимаю, что получается нам необходимо $dim(N\cdot V)=1$, где N — минимальное число подпространств. Но что делать, как выразить это условно через $dim(V+U)+dim(V \cdot U)=dimV+dimU$ и не потеряться?
У меня ощущение, что я чего-то не понимаю, потому что если пользоваться этой формулой, то достаточно даже двух, из соображений, что $6 \geqslant dim(U+U)$. Где ошибки и как решать?

[Deathrose]

Kapnal Loga в сообщении #1630851 писал(а):

В шестимерном пространстве выбирают пятимерные подпространства так, чтобы пересечение всех этих подпространств являлось прямой. Какое наименьшим количеством подпространств можно получить прямую?

Я понимаю, что получается нам необходимо $dim(N\cdot V)=1$, где N — минимальное число подпространств. Но что делать, как выразить это условно через $dim(V+U)+dim(V \cdot U)=dimV+dimU$ и не потеряться?
У меня ощущение, что я чего-то не понимаю, потому что если пользоваться этой формулой, то достаточно даже двух, из соображений, что $6 \geqslant dim(U+U)$. Где ошибки и как решать?

Видимо, речь идет о подпространствах линейного пространства. Воспользуйтесь тем фактом, что если $V_1,V_2\subset V$ - два линейных подпространства $V$, то $\dim V_1 \cap \dim V_2 \geqslant \dim V_1+\dim V_2 - \dim V $ в случае если $\dim V_1+\dim V_2 \geqslant \dim V$. Тогда в шестимерном пространстве пересечение двух пятимерных подпространств не может быть менее чем четырехмерным, пересечение трех не может быть менее чем трехмерным, пересечение четырех не может быть менее чем двумерным, наконец, пересечение пяти не может быть менее чем одномерным, но может быть в точности одномерным.

[Kapnal Loga]

Deathrose в сообщении #1630855 писал(а):

Kapnal Loga в сообщении #1630851 писал(а):

В шестимерном пространстве выбирают пятимерные подпространства так, чтобы пересечение всех этих подпространств являлось прямой. Какое наименьшим количеством подпространств можно получить прямую?

Я понимаю, что получается нам необходимо $dim(N\cdot V)=1$, где N — минимальное число подпространств. Но что делать, как выразить это условно через $dim(V+U)+dim(V \cdot U)=dimV+dimU$ и не потеряться?
У меня ощущение, что я чего-то не понимаю, потому что если пользоваться этой формулой, то достаточно даже двух, из соображений, что $6 \geqslant dim(U+U)$. Где ошибки и как решать?

Видимо, речь идет о подпространствах линейного пространства. Воспользуйтесь тем фактом, что если $V_1,V_2\subset V$ - два линейных подпространства $V$, то $\dim V_1 \cap \dim V_2 \geqslant \dim V_1+\dim V_2 - \dim V $ в случае если $\dim V_1+\dim V_2 \geqslant \dim V$. Тогда в шестимерном пространстве пересечение двух пятимерных подпространств не может быть менее чем четырехмерным, пересечение трех не может быть менее чем трехмерным, пересечение четырех не может быть менее чем двумерным, наконец, пересечение пяти не может быть менее чем одномерным, но может быть в точности одномерным.

Откуда выходит этот факт, из коразмерности и наложения новых уравнений при пересечении? Как он доказывается? С ним понятно тогда, как действовать.

[dgwuqtj]

Kapnal Loga в сообщении #1630851 писал(а):

Но что делать, как выразить это условно через $dim(V+U)+dim(V \cdot U)=dimV+dimU$ и не потеряться?

Вы же сами написали нужное равенство, из него всё и следует. Ну и из монотонности размерности, конечно.