Несчетное подмножество вещественных чисел

[gosetrov]

Условие: Покажите, что для всякого несчётного множества $A \subset \mathbb{R}$ можно указать точку $a$, любая окрестность которой пересекается с $A$ по несчётному множеству. (Утверждение остаётся верным, если слова «несчётное множество» заменить на «множество мощности континуума».)

Решение: Предположим обратное, что для любой точки $a$ существует окрестность в которой лежит "не несчетное" множество элементов из $A$, давайте тогда построим эти интервалы для всех $a \in A$. Тогда $\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i \in \mathbb{Z}}[i -1, i]$, но для каждого из отрезков $[i -1, i]$ мы можем извлечь конечно покрытие интервалами, а значит мы сможем покрыть все $A$ не более чем счетным множеством интервалов(счетное объединение не более чем счетных множеств) в каждом из которых лежит "не несчетное" множество элементов из $A$.
Осталось разобраться что же есть "не несчетное" множество. В учебнике еще не было никаких упоминаний Континуум-гипотезы, поэтому нужно разобраться без нее. Предполагаю все множества можно разделить на три категории: конечные, счетные и несчетные - вопрос в том верно ли это рассуждение? Если да то тогда "не несчетное" множество это не более чем счетное. Теперь возвращаясь к $A$ оно не более чем счетно как не более чем счетное объединение не более чем счетных множеств - противоречие.

А вот чтобы решить задачу заменив как указано в скобках слова «несчётное множество» на «множество мощности континуума» без Континуум-гипотезы не обойтись, правильно?

[mihaild]

Несчетное множество - множество, не являющееся конечным или счетным. Если есть аксиома выбора, то любое несчетное множество более чем счетное.
Если аксиомы выбора нет, то всё утверждение может быть неверно.
Покажите, что если $X \subseteq \mathbb R$ и $X = \cup\limits_{n \in \mathbb N} X_n$, где каждое $X_n$ не более чем счетно, то существует множество $A \subseteq \mathbb R$, равномощное $X$, такое что у любой точки из $\mathbb R$ есть окрестность, пересечение которой с $A$ не более чем счетно. Из этого, и знания что без аксиомы выбора $\mathbb R$ может оказаться счетным объединением счетных множеств, будет следовать, что без аксиомы выбора доказать утверждение не получится.

Считая, что аксиома выбора есть, Ваше рассуждение проходит.
Для случая с континуумом можно обойтись без континуум-гипотезы - с аксиомой выбора континуум не представляется счетным объединением менее чем континуальных множеств. Но это существенно сложнее.