Аналоговые часы. Как часто три стрелки совпадают в сутки?

[Don-Don]

У вас есть аналоговые часы с секундной стрелкой. Сколько раз в день все три стрелки часов накладываются друг на друга?

1) Есть идея №1. Можно рассмотреть все 11 случаев совпадения часовой и минутной стрелок и подумать - где именно находится секундная стрелка. Насколько я понимаю - ответ 2.

2) Назовем промежуток времени 12 часов - периодом. Тогда часовая стрелка проходит 12 кругов за период (будем считать это скоростью движения для удобства), минутная 720 кругов за период, а секундная $720\cdot 60$ кругов за период. Когда все стрелки совпадают, тогда все стрелки прошли траекторию, которая отличается целым числом кругов. Пусть с момента начала суток прошло время $t$, измеряемое в количестве периодов (нецелое число, как правило). Тогда $(720-12)t=n$, $(720\cdot 60 - 12)t=k$, где $k,n$ -целые числа. Пока не знаю - реально докрутить идею.

3) Можно рассмотреть систему отсчета, в которой замерла часовая стрелка, а минутная и секундная движутся относительно друг друга. Но также не очень ясно - как это поможет.

Может быть есть идеи поинтереснее и проще?

[Gagarin1968]

Don-Don в сообщении #1630437 писал(а):

Назовем промежуток времени 12 часов - периодом. Тогда часовая стрелка проходит 12 кругов за период, минутная 720 кругов за период

Это, разумеется, неверно.
Don-Don, скажите, сколько оборотов делает за 12 часов часовая стрелка? А минутная?

[wrest]

Don-Don в сообщении #1630437 писал(а):

Может быть есть идеи поинтереснее и проще?

Ну из того что 11 и 59 взаимно простые числа следует и ответ о только одном положении когда все три совпадают (в полночь и полдень).

[Don-Don]

Gagarin1968 в сообщении #1630438 писал(а):

Это, разумеется, неверно.
Don-Don, скажите, сколько оборотов делает за 12 часов часовая стрелка? А минутная?

Спасибо. Исправляюсь.
Назовем промежуток времени 12 часов - периодом. Тогда часовая стрелка проходит 1 круг за период (будем считать это скоростью движения для удобства), минутная 12 кругов за период, а секундная $120$ кругов за период. Когда все стрелки совпадают, тогда все стрелки прошли траекторию, которая отличается целым числом кругов. Пусть с момента начала суток прошло время $t$, измеряемое в количестве периодов (нецелое число, как правило). Тогда $11t=n$, $119t=k$, где $k,n$ -целые числа. Тогда $119n=11k$, значит $k$ делится на 119. Минимально возможное $t>0$ будет определяться как решение уравнение $119t=k$. Значит $t=1$. Раз в 12 часов. Так можно будет исправиться?)

[Gagarin1968]

Don-Don в сообщении #1630440 писал(а):

Назовем промежуток времени 12 часов - периодом. Тогда часовая стрелка проходит 1 круг за период, минутная 12 кругов за период, а секундная $120$ кругов за период

И опять неверно. Проверьте себя.

[Don-Don]

Gagarin1968 в сообщении #1630441 писал(а):

И опять неверно. Проверьте себя.

1200 там должно было быть. Спасибо.

[Gagarin1968]

Don-Don в сообщении #1630440 писал(а):

а секундная $120$ кругов за период

Don-Don в сообщении #1630445 писал(а):

1200 там должно было быть

Да Вы что, смеётесь?
Сколько оборотов делает секундная стрелка за 12 часов?

[Yadryara]

Don-Don в сообщении #1630440 писал(а):

секундная $120$ кругов за период.

Don-Don в сообщении #1630445 писал(а):

1200 там должно было быть.

Don-Don в сообщении #1630437 писал(а):

Сколько раз в день все три стрелки часов накладываются друг на друга?

Тут другой вопрос есть, гораздо интереснее: сколько раз в день Don-Don сможет правильно перемножить два двузначных числа?

[Gagarin1968]

Don-Don в сообщении #1630440 писал(а):

часовая стрелка проходит 1 круг за период, минутная 12 кругов за период

Don-Don
Поскольку это Вы вычислили правильно, то за 12 чвсов минутная стрелка обгоняет часовую на 11 оборотов.
Часовая и минутная стрелки совпадают тогда, когда минутная обгоняет часовую на 1 оборот. А это происходит каждые $\dfrac {12}{11}$ часа.

А теперь проведите аналогичные рассуждения с минутной и секундной стрелками (но только после того, как Вы правильно подсчитаете число оборотов секундной стрелки за 12 часов).

[Amw]

Don-Don в сообщении #1630437 писал(а):

У вас есть аналоговые часы с секундной стрелкой.

Все стрелки у маятниковых часов движутся дискретно. Чаще всего (настольные, ручные) период 0.4 сек.

[Gepidium]

Amw в сообщении #1630493 писал(а):

Все стрелки у маятниковых часов движутся дискретно.

Это здесь совсем не к месту. В условии же сказано, что часы аналоговые, а значит стрелки движутся непрерывно.
Я читала, что такая задача давалась на собеседованиях в Microsoft в 90-х, когда претендентов спрашивали, сколько раз в день часовая и минутная стрелки встречаются друг с другом.
Но так как этот вопрос со временем стал известным, то интервьюеры Google в 2000-х начали использовать его разновидность с тремя стрелками.
Так что если бы Вы, Amw, так бы ответили на интервью в Google (насчёт дискретного хода аналоговых часов), то Вас бы вежливо попросили никогда больше их не беспокоить.

[Don-Don]

Gagarin1968 в сообщении #1630452 писал(а):

Да Вы что, смеётесь?
Сколько оборотов делает секундная стрелка за 12 часов?

Что-то под вечер у меня мозг совсем плохо соображал. За 12 часов секундная стрелка сделает 720 оборотов, минутная — 12 оборотов, а часовая — 1 оборот.

Gagarin1968 в сообщении #1630461 писал(а):

А теперь проведите аналогичные рассуждения с минутной и секундной стрелками (но только после того, как Вы правильно подсчитаете число оборотов секундной стрелки за 12 часов).

За один час минутная стрелка отстает от секундной на 59 оборотов.

Так как минутная стрелка обгоняет секундную на 59 оборотов за 60 минут, то время, необходимое для того, чтобы минутная стрелка обогнала секундную на один полный оборот, составляет $\frac{60}{59}$ минут.

$t=\dfrac{60}{59}\cdot n=\dfrac {12}{11}\cdot k\cdot 60$

$\dfrac{1}{59}\cdot n=\dfrac {12}{11}\cdot k$

$12\cdot n=11\cdot 59\cdot k$.

$12$ и $11\cdot 59$ взаимно простые . Значит наименьшее $n$ будет равным $11\cdot 59$.

$t=\dfrac{60}{59}\cdot 11\cdot 59=720$ минут. А это есть 12 часов.

Правильно ли будет так?

[wrest]

Don-Don в сообщении #1630517 писал(а):

$t=\dfrac{60}{59}\cdot 11\cdot 59=720$

У вас калькулятор есть? $\dfrac{60}{59}\cdot 11\cdot 59=660$, а не как не $720$.

[Don-Don]

Действительно. Это тема - мой позор какой-то. Но 11 часов - это же вряд ли правильный ответ)

[wrest]

Don-Don в сообщении #1630529 писал(а):

Но 11 часов - это же вряд ли правильный ответ)

А вы хотите подогнать ответ, или найти ответ?
Железобетонно правильный ответ - все три совпадают в полдень, полночь и более никогда.
Если получается другой - ищите ошибку.