Ортогональность мономов на комплексном шаре

[Padawan]

Рассмотрим в $\mathbb C^n$ мономы $z^k=z_1^{k_1}z_2^{k_2}\ldots z_n^{k_n}$, где $z=(z_1, \ldots, z_n)\in\mathbb C^n$, и $k=(k_1, \ldots, k_n) \in\mathbb Z^n_{\geqslant 0}$ -- мультииндекс. Интересует вопрос, верно ли, что эти мономы попарно ортогональны на шаре $B^n=\{z\in\mathbb C^n\mid |z|<1\}$, то есть

$$ \langle z^k, z^l\rangle=\int_{B^n}z^k\overline{z^l}dV=0 \text{ при}\; k\neq l, $$

где $dV$ -- $2n$-мерный объём (мера Лебега).
При $n=1$ это так, и из некоторых соображений мне кажется, что так и в общем случае, но до вычисления руки не дошли. В любом случае, если это верно, это должно быть хорошо известно и отражено в литературе. Хотелось бы ссылку, если кто видел.

[dgwuqtj]

Я не знаю насчёт ссылки, но это легко показать без вычислений. Сделаем замену $z = aw$, где $w \in B^n$, а $a \in \mathbb C^n$ состоит из чисел с модулем 1 (имеется в виду покомпонентное умножение векторов). Тогда интеграл заменится на $\langle z^k, z^l \rangle = \langle a^k w^k, a^l w^l \rangle = a^{k - l} \langle w^k, w^l \rangle$. Если $k \neq l$, то легко подобрать $a$ такое, что $a^{k - l} \neq 1$.

[Padawan]

dgwuqtj
Спасибо! Эта ортогональность позволяет выцеплять коэффициенты тейлоровского разложения $f(z) =\sum\limits_{|k|=0}^\infty c_kz^k$ по обычным формулам коэффициентов Фурье.