Задача из алгебры

[Gg322]

https://yapx.ru/image/XHX08
Если $g \in G$, то $g=g, g=eg, g=gaa^{-1}, g=gaa^{-1}bb^{-1}$ и т.д., где $a,b \in G,e - $ нейтральный элемент. Это ведь нужно представление?

[dgwuqtj]

У вас тут вообще не фигурирует множество $S$.

[Gg322]

Пусть P множество элементов, которые имеют нужное представление. В P есть нейтральный элемент,т.к. $t \in S \to e=tt^{-1}$. Для каждого элемента существует обратный. Пусть $a \in P \to a=a_{1}\cdots a_{s}$, где $a_{i} \in S$ или $a_{i}^{-1} \in S$, тогда $a^{-1}=a_{s}^{-1} \cdots a_{1}^{-1}$ так же имеет нужное представление. Для любых двух элементов их произведение также лежит в P. Получается P подгруппа в G, которое содержит S. По определению G=P. Правильно?