Краевые задачи для колебания струны

[Ёж]

Известно, что задача о вынужденных колебаниях струны, закрепленной на концах с нулевыми начальными условиями

$u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t),\quad u(x,0)=0, \quad u_t(x,0)=0,\quad u(0,t)=0, \quad u(l,t)=0$

имеет решение $u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_n(t)\sin \frac{\pi n}{l}x,$ где $T_n(t)=\frac{l}{\pi na}\int\limits_{0}^{t}f_n(\tau)\sin\frac{\pi na}{l}(t-\tau)d\tau, \quad f_n(t)=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x,t)\sin \frac{\pi n}{l}xdx.$

Подскажите, пожалуйста, верно найдены ли решения следующих задач

1) $u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t),\quad u(x,0)=0, \quad u_t(x,0)=0,\quad u_x(0,t)=0, \quad u_x(l,t)=0$

решение $u(x,t)= T_0(t)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_n(t)\cos \frac{\pi n}{l}x,$ где

$T_0(t)=\int\limits_{0}^{t}f_0(\tau)(t-\tau)d\tau,\quad f_0(t)=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x,t)dx,\quad T_n(t)=\frac{l}{\pi na}\int\limits_{0}^{t}f_n(\tau)\sin\frac{\pi na}{l}(t-\tau)d\tau, \quad f_n(t)=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x,t)\cos \frac{\pi n}{l}xdx.$

2) $u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t),\quad u(x,0)=0, \quad u_t(x,0)=0,\quad u(0,t)=0, \quad u_x(l,t)=0$

решение $u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_n(t)\sin \frac{(2n+1)\pi }{2l}x,$

где $T_n(t)=\frac{l}{\pi na}\int\limits_{0}^{t}f_n(\tau)\sin\frac{\pi na}{l}(t-\tau)d\tau, \quad f_n(t)=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x,t)\sin \frac{(2n+1)\pi }{2l}x.$

3) $u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t),\quad u(x,0)=0, \quad u_t(x,0)=0,$\quad u_x(0,t)=0, \quad u(l,t)=0$

решение $u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_n(t)\cos \frac{(2n+1)\pi }{2l}x,$

где $T_n(t)=\frac{l}{\pi na}\int\limits_{0}^{t}f_n(\tau)\sin\frac{\pi na}{l}(t-\tau)d\tau, \quad f_n(t)=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x,t)\cos \frac{(2n+1)\pi }{2l}xdx.$