Задача по теории вероятностей...

[Laguna]

Здравствуйте, господа, возникла проблема со следующей задачей:
"Случайные величины $X$, $Y$ и $Z$ независимы и каждая равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Вычислите плотность случайной величины $W=XY^Z$ "
Первое, что сделал - прологарифмировал обе части, однако дальше дело не пошло. Не понимаю, как здесь можно использовать тот факт, что все с.в. независимы. Помогите, пожалуйста, разобраться

[Ende]

Laguna
Не нужно обрамлять долларами каждую букву. Нужен один символ доллара в начале формулы и один в конце, и всё. Поправил Вашу формулу. Наведите курсор, чтобы увидеть ее код.

[ShMaxG]

Laguna
Имеется ввиду $W=X\cdot Y^Z$ или $W=(XY)^Z$ ?

[Laguna]

ShMaxG в сообщении #1628694 писал(а):

Laguna
Имеется ввиду $W=X\cdot Y^Z$ или $W=(XY)^Z$ ?

Второе

[ShMaxG]

В таком случае действуйте по шагам:
1. Введите замены $U=-\ln{X}$, $V=-\ln{Y}$ и выясните, как распределены $U$ и $V$.
2. Выясните, как распределена величина $U+V$.
3. Затем выясните, как распределена $(U+V)Z$.

[Laguna]

ShMaxG в сообщении #1628697 писал(а):

В таком случае действуйте по шагам:
1. Введите замены $U=-\ln{X}$, $V=-\ln{Y}$ и выясните, как распределены $U$ и $V$.
2. Выясните, как распределена величина $U+V$.
3. Затем выясните, как распределена $(U+V)Z$.

Я знаю, что так можно сделать, эта идея уже приходила ко мне в голову, однако такое решение какое-то чересчур пробивное, там еще и формула свёртки выскачет, что приводит к большим вычислениям. Вопрос в том, а нельзя ли как-то упростить это все хозяйство. Эта задача относится к тебе многомерного распределения. Я вот думаю, может здесь надо воспользоваться какими-то фактами из распределений случайных векторов...

[ShMaxG]

Laguna
Пробивное решение -- это искать функцию распределения, писать тройной интеграл и исписывать бумагу. Тут же используются известные факты. Ну конечно если ничего не знать и выводить с нуля, будет не очень быстро. Ну так везде...

[Евгений Машеров]

Логарифмирование $U(0,1)$ случайной величины является стандартным приёмом для генерирования случайной величины с э... эх, каким известным распределением!
А сумма двух таких независимых будет иметь тоже популярное распределение, только другое. А вот когда на Z домножать - тут может понадобиться интегралы брать.
На этом Шехерезада прекращает дозволенные речи.

[Padawan]

Можно и в лоб посчитать. Для этого нужно уметь при фиксированном $z$ находить площадь области $\{(x,y)\in [0,1]^2\mid a^{1/z}<xy<b^{1/z}\}$. Она легко считается, обозначим её через $S(z;a,b)$ ($0<z,a,b<1$). Тогда $P(a<(XY)^Z<b)=\int_0^1S(z;a,b)dz$. Если я нигде не ошибся, это сводится к интегралу $\int_c^{+\infty}e^{-t}\left(\frac1t+\frac1{t^2}\right)dt=\frac1ce^{-c}$.

-- Ср фев 07, 2024 15:55:10 --

У меня получилось $P(a<(XY)^Z<b)=b-a$. То есть $(XY)^Z$ распределена равномерно на $[0,1]$, как ни странно.

[Laguna]

Евгений Машеров в сообщении #1628731 писал(а):

Логарифмирование $U(0,1)$ случайной величины является стандартным приёмом для генерирования случайной величины с э... эх, каким известным распределением!

Я так понимаю, вы утверждаете, что логарифмирование равномерной с.в. даст экспоненциальную с.в.? Я провел выкладки и получилось не так. При неотрицательных $x$ плотность эксп. с.в. должна иметь вид: $\lambda e^{-\lambda x}$, а у меня вышло: просто $e^{x}$. Однако, я так понимаю, получившаяся плотность у меня есть не что иное как плотность распределения экспоненциальной с.в. , но только взятой со знаком минус, правильно?

Евгений Машеров в сообщении #1628731 писал(а):

А сумма двух таких независимых будет иметь тоже популярное распределение, только другое.

А тут вы намекаете на то, что сумма эксп. с. в. будет равна с.в., имеющей гамма-распределение?

[Laguna]

Padawan в сообщении #1628738 писал(а):

Если я нигде не ошибся, это сводится к интегралу $\int_c^{+\infty}e^{-t}\left(\frac1t+\frac1{t^2}\right)dt=\frac1ce^{-c}$.

Хорошая идея, однако я попробовал посчитать так, и у меня получился неберущийся определенный интеграл. Вот, что у меня конкретно получилось:
$P((XY)^{Z} \leqslant t) = F(t) = P(XY \leqslant t^{1/z})$. Далее найдем вероятность этого события при фиксированных величинах $z$ и $t$. Тут надо будет найти площадь на плоскости ограниченную прямыми $x=1$, $x=0$, $y=0$, $y=1$ и гиперболой $y = t^{1/z} / x$. Далее высчитывается эта площадь, которая у меня равна $t^{1/z} (1 - \ln(t)/z)$. Ну и далее, используя формулу полной вероятности, получаем, что функция распределения $F(t)$ искомой с.в. будет равна $\int\limits_{0}^{1}(t^{1/z} - t^{1/z}\ln(t)/z)dz$. Ну а тут, у меня тупик... Где именно я ошибся? Не могли бы вы привести свои расчёты?

[Padawan]

Все верно. Интеграл берётся.

[Laguna]

Padawan в сообщении #1628763 писал(а):

Все верно. Интеграл берётся.

Действительно, Вы правы, интеграл можно взять, но для того, чтобы его взять, необходимо заметить, что обязательно $0 \leqslant t \leqslant 1$, иначе интеграл расходится. А так получается, что на отрезке $0 \leqslant t \leqslant 1$ функция $F(t) = t$, а на отрицательных, очевидно, равна нулю, а на тех, что больше единицы равна единице. Откуда видно, что действительно искомая с.в. распределена равномерно на отрезке $[0, 1]$

[ShMaxG]

Пусть $\xi\in U(0,1)$ и $\eta\in\Gamma(2,1)$ независимы и необходимо найти распределение $\xi\eta$. Попробуйте ввести величины $X=\xi\eta$ и $Y=\eta$ и рассмотреть преобразование $(\xi,\eta)\to(\xi\eta,\eta)$ и найдите плотность совместного распределения вектора $(\xi\eta,\eta)$. Затем найдите плотность $\xi\eta$.