Скорость роста экспоненциальных чисел

[Munuvonaza]

Экспоненциальное число есть результат бинарной операции $a\Delta b$, определяемой как первая операция дистрибуционной иерархии по умножению, то есть $a\Delta b = \exp(\ln a \cdot \ln b)$, или в общем виде для n-ой операции $a{\Delta^{(n+1)}} b = \exp(\ln(a) {\Delta^{(n)}} \ln(b) ) $, или что то же самое в замкнутой форме $a{\Delta^{(n)}} b = {\exp^{(n)}}({\ln^{(n)}(a)} \cdot {\ln^{(n)}}(b) ) $, где $\exp^{(n)}$ и $\ln^{(n)}$ есть повторно примененный n раз оператор натуральной экспоненты и натурального логарифма соответсвтенным образом

Операция экспоненциальных чисел имеет мало описания в литературе, по крайней мере, по имеющимся у меня ключевым словам, может быть это называется каким-то более правильным образом; тем не менее есть вопрос о скорости роста таких чисел, если представить один аргумент в виде переменной, а второй зафиксировать как константу

Функция $\sigma(x,c,n) = x{\Delta^{(n)}} c $ представляет собой n-ый экспоненциальный оператор из дистрибуционной иерархии, где один из операндов зафиксирован в виде константы, не важно какой, поскольку оператор коммутативный; рассмотрим скорость роста такой функции от переменной x при любых значениях c и n больше единицы - с одной стороны очевидно, что рост такой функции будет больше полиномиального роста, поскольку $x{\Delta^{(2)}} c = x^{\ln^{c}(x)}$, что больше любого заранее взятого монома фиксированной степени, а значит и полинома; с другой стороны рост такой функции при любом n всегда меньше экспоненциального $x{\Delta^{(n)}} c < \exp(x)$, поскольку $\ln(x) \cdot c < x$, что получается простой раскруткой по экспоненциальной башне

Итого вопрос какая же скорость роста у функции $\sigma$, по переменной x? Она точно больше любого полинома, и точно меньше субэкспоненты... Очевидно что это уже давно изученный вопрос в математике, но приходит только что-то вроде обобщенной операции возведения в степень, поскольку при $n=1$ получается $x^{\ln(c)}$, то есть моном, а для $n>1$ что-то вроде обобщенного монома...

Заранее спасибо!

[Null]

Ее скорость роста равна ей самой - выражение не получиться сильно упростить и оно самое простое в классе эквивалентных.