2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Цилиндрическая сигма-алгебра
Сообщение02.02.2024, 20:35 
Аватара пользователя


21/09/13
137
Уфа
Доброго времени суток!
Пусть $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,1]})$ цилиндрическая сигма-алгебра на $\mathbb{R}^{[0,1]}$, т.е. сигма-алгебра, порожденная всевозможными множествами вида
$$
C=\{x=x(t):(x_{t_1},\ldots,x_{t_n})\in B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}, 
$$где $t_j\in[0,1].$
Известно, что для каждого $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,1]})$ существует такая последовательность $\{t_j\}\in[0,1]$ и такое множество $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^\infty)$, что $A=\{x=x(t):(x_{t_1},\ldots, x_{t_n},\ldots)\in B\}$.
Пусть $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,1]})$ не пусто и $A=\{x=x(t):(x_{t_1},\ldots, x_{t_n},\ldots)\in B\}$. Пусть $f\in A$ ($A$ не пусто). Поскольку ограничения на $f$ наложены только для точек $t_j$, то множеству $A$ будут принадлежать все функции, совпадающие с $f$ в этих точках. Таких функций в точности $2^c$. Получается, что каждое непустое множество из $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,1]})$ имеет мощность $2^c$. Отсюда заключаем, что, например, множество всех непрерывных функций на $[0,1]$ не принадлежит $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,1]})$, поскольку имеет мощность лишь континуум.
Это правильное рассуждение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group