Неравенства с обратными тригонометрическими функциями

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые, помогите понять. Решаю неравенство: $\arccos x>\frac{\pi}{2}$.

По графику все понятно, решение: $x\in (-1,0)$. Но если хочу взять косинус от обеих частей, формально получаю:

$\cos(\arccos(x))>\cos \frac{\pi}{2}$

$x>0$.

Как здесь соблюсти формальность и корректно записать, чтобы получить верный ответ?

[lel0lel]

Воспользуйтесь убыванием косинуса на интервале $[0,\pi]$ и замените в неравенстве

Stensen в сообщении #1627382 писал(а):

$x>0$

знак на противоположный. Ну и в предыдущем неравенстве тоже. А вообще это всё выглядит так себе, вот вы же видите из графика решение. Что нужно сказать про функцию арккосинус, чтобы оно было строгим?

[Gagarin1968]

Stensen
А почему Вы решили, что если $a>b$, то $\cos a> \cos b$?
Функция косинуса на данном интервале убывающая.
Upd. Уже ответили.

[dgwuqtj]

Stensen в сообщении #1627382 писал(а):

Как здесь соблюсти формальность и корректно записать, чтобы получить верный ответ?

Надо ещё аккуратно следить за тем, в каких промежутках у вас переменные и между какими промежутками действуют функции. А именно, $\arccos \colon [-1, 1] \to [0, 2\pi]$, так что $-1 \leq x \leq 1$.

[dgwuqtj]

Конечно же, $\arccos \colon [-1, 1] \to [0, \pi]$.

[Stensen]

Всем спасибо, понимание сложилось