Классификация точек равновесия нелинейной системы

[Dedekind]

Вопрос у меня общего характера, но проиллюстрирую на конкретном примере. Имеется нелинейная система ОДУ

$$\dot{x}=y-x^2+2$$

$$\dot{y}=2y^2-2xy$$

Ее неподвижные точки такие: $(\pm\sqrt2,0),(-1,-1),(2,2)$.
Точки $(-1,-1),(2,2)$ - седловые точки, с ними проблем нет.
Точки $(\pm\sqrt2,0)$ являются вырожденными узлами (degenerate node) согласно линейному анализу. Однако, поскольку вырожденные узлы относятся к пограничному случаю, то под воздействием нелинейных слагаемых они могут превратиться либо в обычные узлы (node), либо в спирали (spirals), либо остаться вырожденными узлами(?). Понятное дело, что линейный анализ различить эти случаи не может.
Вопрос: есть ли какие-то общие методы, которые позволят узнать, какой из случаев имеет место в конкретной нелинейной системе?

[GAA]

Dedekind в сообщении #1627349 писал(а):

Однако, поскольку вырожденные узлы относятся к пограничному случаю, то под воздействием нелинейных слагаемых они могут превратиться либо в обычные узлы (node), либо в спирали (spirals), либо остаться вырожденными узлами(?). Понятное дело, что линейный анализ различить эти случаи не может.

А можно пример системы для которой точка покоя линеаризованной системы имеет вырожденный узел, а для исходной нелинейной системы эта точка покоя имеет тип фокус или невырожденный узел (т.е. "меняет тип")?

[alisa-lebovski]

Функция Ляпунова.

[vicvolf]

Dedekind
В случае, когда нелинейность играет существенную роль в поведении систем, то используют теорию нелинейных систем.
Один из учебников на эту тему - Е.П. Попов "Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления".

[Red_Herring]

Вырождения бывают разные. Поэтому сначала стоит описать матрицу и ее собственные значения и векторы в вырожденных точках

[GAA]

alisa-lebovski в сообщении #1627402 писал(а):

Функция Ляпунова.

Утверждения, в которых фигурирует функция Ляпунова, обычно позволяют ответить на вопрос об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости. Обычно эти утверждения не позволяют различить устойчивый узел и устойчивый вырожденный узел (или неустойчивый узел и неустойчивый вырожденный узел). Теория устойчивости вводит "топологическую" классификацию точек покоя. Это "укрупнённая классификация": асимптотически устойчивой точкой может быть и устойчивый узел, и устойчивый фокус, и устойчивый вырожденный узел; неустойчивой точкой может быть и неустойчивый фокус, и неустойчивый узел, и неустойчивый вырожденный узел.

-- Mon 29.01.2024 11:39:47 --

Red_Herring, ну, в точке $(\sqrt 2, 0)$ (системы приведенной в качестве примера) имеем для линеаризованной системы грубый устойчивый вырожденный узел. Следовательно и для исходной нелинейной системы будем иметь устойчивый вырожденный узел.

-- Mon 29.01.2024 11:47:18 --

vicvolf в сообщении #1627406 писал(а):

Один из учебников на эту тему - Е.П. Попов "Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления".

А я бы смотрел рекомендованный учебник, а если там ответа не нашёл, то открыл бы один из учебников по качественной теории.

GAA в сообщении #1520912 писал(а):

Из старых книг см, например,
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966 (djvu);
Баутин Н.Н, Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. (pdf).

[Red_Herring]

GAA Я этого хотел от ТС, а Вы лишили его такой возможности

[GAA]

Так ТС нашел по первому приближению (для линеаризованной системы) две точки покоя типа вырожденный узел.

Dedekind в сообщении #1627349 писал(а):

Точки $(\pm\sqrt2,0)$ являются вырожденными узлами (degenerate node) согласно линейному анализу.

Т.к. для линейной системы точка покоя вырожденный узел, то это грубый вырожденный узел. Т.е. ТС в начальном сообщении ответил на Ваш вопрос.
Upd Матрица коэффициентов правых частей линеаризованной в точке $(\sqrt 2, 0)$ системы: $\left(\begin{array}{cc}-2\sqrt 2 & 1 \\ 0 & -2\sqrt2 \end {array}\right) $.
Собственные числа: $\omega_{1,2}= -2\sqrt 2$.

[Dedekind]

GAA в сообщении #1627397 писал(а):

А можно пример системы для которой точка покоя линеаризованной системы имеет вырожденный узел, а для исходной нелинейной системы эта точка покоя имеет тип фокус или невырожденный узел (т.е. "меняет тип")?

Честно говоря, затрудняюсь ответить. В основном потому, что не особо понимаю, как классифицировать именно нелинейные точки покоя. Вот эту укрупненную классификацию я понимаю.

GAA в сообщении #1627411 писал(а):

Теория устойчивости вводит "топологическую" классификацию точек покоя. Это "укрупнённая классификация": асимптотически устойчивой точкой может быть и устойчивый узел, и устойчивый фокус, и устойчивый вырожденный узел; неустойчивой точкой может быть и неустойчивый фокус, и неустойчивый узел, и неустойчивый вырожденный узел.

Но вопрос был именно в том, как сделать ее более "гранулированной". И вообще, возможно ли это.

Red_Herring в сообщении #1627415 писал(а):

Я этого хотел от ТС, а Вы лишили его такой возможности

Да, я не стал расписывать, но у меня вышло точно так же как и у GAA:)

GAA в сообщении #1627418 писал(а):

Матрица коэффициентов правых частей линеаризованной в точке $(\sqrt 2, 0)$ системы: $\left(\begin{array}{cc}-2\sqrt 2 & 1 \\ 0 & -2\sqrt2 \end {array}\right) $.
Собственные числа: $\omega_{1,2}= -2\sqrt 2$.

Собственный вектор - $\mathbf{v}=(1,0)$

GAA, vicvolf за учебники спасибо, буду смотреть. Может кто-нибудь сможет еще на английском литературу посоветовать, где это разбиралось бы?

[GAA]

А почему на английском? И какой уровень. Вопрос Ваш по самым начальным сведениям. Есть научно-популярная:
D. K. Arrowsmith and C. M. Place, Ordinary differential equations: a qualitative approach with applications (Chapman and Hall, 1982) (свободно доступный djvu).
В этой книге много рисунков. Не все доказывается, заинтересованного читателя отсылают к Харману
Philip Hartman Ordinary Differential Equations, SIAM, 1982.
(Это уже не научно-популярная книга).

-- Mon 29.01.2024 15:22:32 --

Dedekind в сообщении #1627427 писал(а):

Но вопрос был именно в том, как сделать ее более "гранулированной". И вообще, возможно ли это.

На плоскости --- да.

[Dedekind]

GAA в сообщении #1627429 писал(а):

А почему на английском? И какой уровень. Вопрос Ваш по самым начальным сведениям.

Ну, уровень начальный и есть) Я читаю книгу Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics And Chaos. Там делается оговорка о том, что линейному анализу нельзя доверять в пограничных случаях (в том смысле, что тип стабильности сохраняется, но конкретний тип точки может измениться), но ничего не говориться о том, что же в таких случаях делать.
За книги спасибо, буду изучать:)

[GAA]

Dedekind в сообщении #1627435 писал(а):

тип стабильности сохраняется,

Нет. Если для линеаризованной системы тип точки центр (устойчивая, но не асимптотически устойчивая), то для исходной нелинейной может быть цент, устойчивый фокус или неустойчивый фокус. В остальных случаях "тип точки сохраняется".

-- Mon 29.01.2024 15:56:54 --

GAA в сообщении #1627438 писал(а):

ничего не говориться о том, что же в таких случаях делать.

Показатели Ляпунова в случае центра, в некоторых случаях помогают.

[Dedekind]

GAA в сообщении #1627438 писал(а):

Нет. Если для линеаризованной системы тип точки центр (устойчивая, но не асимптотически устойчивая), то для исходной нелинейной может быть цент, устойчивый фокус или неустойчивый фокус.

Да, я неполно выразился. С центром понятно, я имел в виду то, что устойчивый вырожденный узел не может вдруг стать неустойчивым, но может (?) перестать быть узлом.

[GAA]

Dedekind в сообщении #1627443 писал(а):

но может (?) перестать быть узлом.

Выше я уже ответил. Ответ на Ваш вопрос есть в указанных выше книгах на английском.

[Dedekind]

GAA
Большое спасибо!