Наивные вопросы о метрических пространствах

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о метрических пространствах - либо произвольных, либо с оговоренными свойствами. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Непрерывность метрики

На пространстве $X$ задана метрика $\rho$. Доказать или опровергнуть, что $\rho \colon X \times X \to \mathbb R$ есть непрерывная функция. Топология пространства $X \times X$ есть произведение на саму себя топологии, заданной на $X$ метрикой $\rho$.

Интуитивно утверждение выглядит истинным, поэтому пытаюсь доказать.

Наблюдение 1.а. Тривиально доказывается, что для фиксированной точки $a \in X$ функция одной переменной $\rho(a, x)$ непрерывна. Но из этого, по-видимому, никак не выводится целевое утверждение.

Пытаюсь доказать, что прообраз произвольного интервала открыт.
Достаточно доказать, что $\forall \alpha, \beta \in \mathbb R$ в пространстве $X \times X$ открыто множество точек $ M = \{(x, y)| \alpha < \rho(x, y) <\beta \}$. Другими словами, что каждая точка $(x, y) \in M$ - внутренняя для $M$. Не снижая общности, можно считать, что $0 \le \alpha <\beta$.

Обозначим

$$ r = \min \left \{ \dfrac {\rho(x, y)-\alpha}{2}, \dfrac {\beta-\rho(x, y)}{2} \right \} $$

и $B(x, r)$ - открытый шар с центром $x$ радиуса $r$.

Хочется доказать, что точка $(x, y)$ входит в $M$ вместе со своей окрестностью $B(x, r) \times B(y, r)$, и следовательно, внутренняя для $M$.

Я попытался доказать через неравенство треугольника, что $\forall x' \in B(x, r), y' \in B(y, r)$ верно $\alpha < \rho(x', y') < \beta$. Но не получилось.

Наблюдение 1.b. Целевое утверждение верно в частном случае $X = \mathbb R$ с канонической метрикой. В этом можно убедиться, изобразив прообраз произвольного интервала на координатной плоскости. Но как корректно обобщить этот факт, я не знаю.

Ощущение, что я не вижу чего-то очевидного. То ли плутаю в трех соснах, не сделав последнего шага в доказательстве, то ли думаю вообще ни в том направлении, вместо двери пытаясь пролезть в печную трубу. Пните меня, что ли, в нужную сторону.

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1627315 писал(а):

Но не получилось.

Плохо старались. В смысле, утверждение вернО.

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1627319 писал(а):

В смысле, утверждение вернО.

И выводится из неравенства треугольника?

[Mikhail_K]

Anton_Peplov
Если $X,Y$ - метрические пространства, то отображение $f:\,X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $\{x_n\}\overset{X}\to x_0$ влечёт $\{f(x_n)\}\overset{Y}\to f(x_0)$. Это определение равносильно используемому Вами - см., например, Колмогорова-Фомина.

Топология прямого произведения $X\times X$ метрического пространства на себя порождается, например, метрикой $\rho_\infty((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{\rho(x_1,x_2),\rho(y_1,y_2)\}$.

Кроме этих утверждений, нужно использовать ещё аксиому треугольника и всё.

Наверняка это можно сделать и примерно как Вы начинали, но на языке пределов удобнее.

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1627322 писал(а):

И выводится из неравенства треугольника?

Это неравенство легко обобщается и для четырёх точек.

-- Вс янв 28, 2024 17:50:57 --

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1627324 писал(а):

но на языке пределов удобнее.

На вкус и цвет товарища нет.

-- Вс янв 28, 2024 17:55:14 --

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1627327 писал(а):

Это неравенство легко обобщается и для четырёх точек.

$|\rho (x,y)-\rho(x',y')|\le \rho(x,x')+\rho(y,y')$ .

[VanD]

Рассуждение "по картинке". Пусть $x, y\in X$ такие что $\rho(x, y) < b$. Нарисуем по достаточно маленькому шарику вокруг $x$ и $y$ и покажем, что расстояние между точками из разных шариков тоже меньше $b$. Это расстояние придётся оценивать через расстояния до центров и расстояние $r = \rho(x, y)$ между центрами (вроде мы только их и можем контролировать). Потребуется что-то вроде "неравенства четырёхугольника", представляющего собой два последовательно применённых неравенства треугольника.

Аналогично для случая $a < \rho(x, y)$, но с оцениванием расстояния между центрами через расстояние между точками из разных шариков и расстояния от них до центров.

Останется пересечь соответствующие шарики из этих двух случаев и получить окрестность точки $(x, y)\in X\times X$, целиком попадающую в интервал $(a; b)\subset \mathbb{R}$.

Формализовать это вроде дело техники.

[Anton_Peplov]

vpb, спасибо. Теперь все получилось, и более того, оказалось просто до неприличия. Намного легче искать ответ, когда знаешь, что ищешь в правильном направлении. Конечно же, меня опять подводит нехватка технических навыков. Мало задач в юности прорешал, а сейчас где же на это времени взять.

мат-ламер, спасибо за подсказку, какое именно неравенство нужно было использовать. Доказал его (это просто) и выписал отдельным пунктом в рубрику "Полезные следствия из неравенства треугольника". Авось еще пригодится.

VanD, спасибо за участие. Не проверял деталей, но вроде бы это именно та идея, которую я использовал.

Mikhail_K, спасибо за альтернативную идею доказательства. Разумеется, я знаю определение непрерывности в точке. Подумывал им воспользоваться, но у меня уже было почти завершенное доказательство и ощущение, что в нем не хватает последнего шага. Приятно, что ощущения меня не обманули.

Вопрос № 1 закрыт, всем спасибо.

[vpb]

На здоровие. Там действительно вы споткнулись буквально на ровном месте, так что непонятно было, чего подсказывать.