Система диофантовых уравнений

[Andrey A]

Интересно, систему $\left\{ \begin{array}{rcl} 13x^2+2x-t&=&0 \\ 23y^2+2y-t&=&0 \\ 35z^2+12z-t&=&-1 \\ \end{array} \right.$ wolframalpha решает, но не в целых. То есть отписывается. Другой сервис, вроде бы не слабый, пишет решений нет. Между тем система имеет минимум одно решение $x=-8,y=-6,z=-5,t=816.$ Утверждение о ее неразрешимости — уже не отписка, а жирная ошибка. Я знаю, что тема мало изучена, но неужели так всё запущено? Нуждаюсь в совете (почитать, скачать и т.д.)

[Andrey A]

P.S. Почленным вычитанием получаем систему из двух уравнений с $3$-мя неизвестными, ее Вольфрам уже решает (похоже перебором), но хочется чего-то более конструктивного. Хотя бы уверенности в отсутствии решений, если их нет.

[Shadow]

Если положить $x=\dfrac{a-1}{13},y=\dfrac{b-1}{23},z=\dfrac{c-6}{35}$ получится система

$\dfrac{a^2-1}{13}=\dfrac{b^2-1}{23}=\dfrac{c^2-1}{35}$. В конечном итоге получается системма уравнений Пелля:

$\begin{cases} 23a^2-13u^2=10 \\35a^2-13v^2=22 \end{cases}$

Такие системы всегда имеют конечное число решений (на практике единичные). Доказательства в общем случае очень тяжелые.

Например, можно умножить первое на $11$, второе на $5$ и получить однородное уравнение второй степени. Оно параметризуется двумя параметрами

$a=f(p,q)\; u=g(p,q)$ в квадратичной форме. Поставить в первое уравнение, поделить на $q^4$, в лево получится полином 4-ой степени от $p/q$, вправо $\dfrac{10}{q^4}$

Что означает, что $p/q$ должно быть ну уж оооооочень хорошее приближение к корню данного полинома. Потом притянуть за уши теорему Луивилля о том, что рациональные числа "плохо" приближаются к алгебрическим. И что при $q$ болше некоторой костанты (один черт знает какой, но обычно очень большой) решений не будет.

-- 25.01.2024, 10:28 --

И все $q$ меньше данной константы, конечно же, проверить.

[Andrey A]

Shadow в сообщении #1627057 писал(а):

$\dfrac{a^2-1}{13}=\dfrac{b^2-1}{23}=\dfrac{c^2-1}{35}$.

Shadow в сообщении #1627057 писал(а):

Такие системы всегда имеют конечное число решений (на практике единичные).

Да, конечно, вопрос пришел из задачи о пропорциональных тройках треугольных чисел:

Andrey A в сообщении #1623323 писал(а):

$$\dfrac{x^2-1}{a}=\dfrac{y^2-1}{b}=\dfrac{z^2-1}{c}, a<b<c,\ \gcd(a,b,c)=1$$

Конечность решений следует из теоремы Туэ и подозрение в единственности (тоже из практики), и метод нашелся — разложение корней уравнения $4$-й степени (scwec решал Туэ напрямую с помощью PARI/GP, но там неизвестный квадрат в правой части, выходит перебор). Это ладно, но вот такой пример:

$$\dfrac{5^2-1}{1}=\dfrac{29^2-1}{35}=\dfrac{985^2-1}{40426}$$

$$\dfrac{7^2-1}{1}=\dfrac{41^2-1}{35}=\dfrac{1393^2-1}{40426}.$$

Два решения. Их можно привести сколько угодно, но это полбеды. Беда в том что разложением в цепную дробь эти решения не найти — соотв. дроби не подходящие и даже отличается на пару-тройку знаков. Тогда о неразрешимых тройках что-либо утверждать не приходится (может их и вовсе нет), все наши достижения работали на малых числах и валятся теперь под откос. Ну, вот и приходится искать новые методы — задача-то зубодробительная.

Shadow в сообщении #1627057 писал(а):

Например, можно умножить первое на $11$, второе на $5$ и получить однородное уравнение второй степени.

Получаем уравнение $6a^2+5v^2=11u^2.$ Общее решение такого уравнения выражается тождеством

Andrey A в сообщении #1622911 писал(а):

$$u\left( ul^2-vm^2+2vlm \right)^2+v\left( ul^2-vm^2-2ulm \right)^2-\left( u+v \right)\left( ul^2+vm^2 \right)^2=0 \qquad (9').$$

с некоторым коэффициентом пропорциональности. Да, оно описывает общее решение задачи, нужно только знать пару $l,m.$