Что то похожее Шура

[qwert129]

Каждое из натуральных чисел чисел покрашено в красный, синий или зелёный цвет. Докажите, что существуют натуральные числа
a, b, c такие, что все числа a, b, c, a + b, b + c, c + a, a + b + c покрашены
в одинаковый цвет.

[qwert129]

Можно решить? Хотябы для a, b, a+b

[mathematician123]

Существование одноцветных чисел $a$, $b$, $a + b$ - это частный случай теоремы Шура. Можно модифицировать доказательство из Википедии. Вместо одноцветного треугольника выберем одноцветный полный граф на 4 вершинах. Это даёт возможность сделать одноцветными шесть из семи чисел: $a$, $b$, $c$, $a + b$, $b + c$, $a + b + c$.

[Dendr]

mathematician123 в сообщении #1627407 писал(а):

Можно модифицировать доказательство из Википедии
. Вместо одноцветного треугольника выберем одноцветный полный граф на 4 вершинах. Это даёт возможность сделать одноцветными шесть из семи чисел: $a$, $b$, $c$, $a + b$, $b + c$, $a + b + c$.

В той же Википедии можно найти формулы для оценок сверху, откуда находится, что такое возможно в графе из $R(4, 4, 4)\le1140$ вершин. Следовательно, любая раскраска чисел от 1 до 1139 содержит одноцветные $a, b, c$ такие, что их их полная сумма и две из попарных того же цвета. Но цвет третьей попарной суммы не гарантирован.

Для двух цветов - 4-точечный подграф найдется в графе из $R(4,4)=18$ вершин - то есть числа от 1 до 17 всегда раскрашиваются требуемым образом. А для 16 чисел найдется такая раскраска, в которой подграфа нет (но есть одноцветные треугольники). И в какой бы цвет (из двух) мы ни окрасили число 17 (а это цвет ровно одного нового ребра, остальные определены ранее), новая точка графа соединится тремя одноцветными ребрами с вершинами одного из упомянутых треугольников.

[Dendr]

В дополнение к предыдущему: перебирал раскраски в поисках контрпримера для 16 чисел двумя цветами, и нашел такой:

$$1\;2\;4\;8\;9\;13\;15\;16\quad3\;5\;6\;7\;10\;11\;12\;14$$

Если теперь попробовать покрасить $17$ в любой из цветов, всегда находится тройка (например, $4, 4, 9$ или $3, 7, 7$), в которой попарные суммы уже того же цвета, и общая сумма - тоже этого цвета.

Здесь, конечно, следует обязательно оговорить, что (как и в теореме Шура) предполагается, что среди чисел допустимы повторения. Если потребовать их различия, то строгое доказательство не действует.