Определение бесконечного множества по Дедекинду

[gosetrov]

Условие: Множество бесконечно, если оно равномощно некоторому своему подмножеству, не совпадающему со всем множеством. Покажите что это свойство действительно определяет бесконечное множество.
Решение: $A \sim B, B \subset A $ и $B \ne A$, тогда внутри $B$ мы сможем найти $B^\prime, B^\prime \sim B$ причем $B^\prime \ne B$, в свою очередь $B^\prime \sim A$, а значит и внутри $B^\prime$ мы сможем найти $B'', B'' \sim B, B'' \ne B' $, таким образом мы можем продолжать построение при чем $ B' \ne B \wedge B'' \ne B' \wedge B''' \ne B'' ...$ и $ B \supset B' \supset B'' \supset B'''$а значит $ B \setminus B' \ne \varnothing \wedge B' \setminus B'' \ne \varnothing...$, а значит в их разности содержится хотя бы по одному элементу, т.о. мы сможем из $A$ извлечь бесконечное подмножество, что и будет означать что $A$ бесконечно.
Подскажите, правильно ли это построенное рассуждение?

[mihaild]

gosetrov в сообщении #1626884 писал(а):

Покажите что это свойство действительно определяет бесконечное множество

А какое тут определение "бесконечного множества" используется?

В любом случае, рассуждение не очень хорошее, потому что содержит бесконечное количество шагов, каждый из которых просто заявляет существование множества. В этой области лучше аккуратнее - у Вас же есть конкретная биекция $f: A \to B$, с её помощью можно определить $B'$ явно, а не просто заявить существование.

[gosetrov]

Спасибо, хорошая идея, давайте построим $B', B'', B''', ...$ более строго:
1. $f(B) = B'$, при чем $B' \ne B$ т.к. $ B \ne A$, тогда $B' \sim B, B \sim A \Rightarrow B' \sim A \Rightarrow \exists f': A \to B'$ - биекция
2. $f'(B) = B''$, при чем $B'' \ne B'$ т.к. $ B \ne A$, тогда $B'' \sim B, B \sim A \Rightarrow B'' \sim A \Rightarrow \exists f'': A \to B''$ - биекция
...
далее $ B' \ne B \wedge B'' \ne B' \wedge B''' \ne B'' ...$, $ B \supset B' \supset B'' \supset B''' \supset ... \Rightarrow B \setminus B' \ne \varnothing, B' \setminus B'' \ne \varnothing ... $, но $ B \setminus B' \cup B' \setminus B'' \cup... \subset A $ и $ B \setminus B' \cap B' \setminus B'' = \varnothing, ... \Rightarrow A$ имеет по крайней мере счетное подмножество.

mihaild в сообщении #1626886 писал(а):

А какое тут определение "бесконечного множества" используется?

В учебнике Шеня не дается это определение отдельно, но т.к. вполне понятно что счетное множество бесконечное(и что-то имеющие подмножеством счетное тоже беcконечно), думаю достаточно показать что $A$ содержит по крайней мере счетное подмножество.

[mihaild]

У Вас опять бесконечное число кванторов существования, теперь по функциям.
И можно просто явно выписать счетное подмножество $A$. Докажите, что если $a \in A \setminus B$, то $f^n(a) \neq f^m(a)$ для $n \neq m$ ($f^n$ - композиция $f$ с собой $n$ раз).

gosetrov в сообщении #1626909 писал(а):

В учебнике Шеня не дается это определение отдельно

Тогда скорее всего стоит взять такое определение: множество бесконечно если оно не-конечно, множество конечно если в нём ровно $n$ элементов для какого-то натурального $n$.

[gosetrov]

mihaild в сообщении #1626910 писал(а):

У Вас опять бесконечное число кванторов существования, теперь по функциям.

Можете, пожалуйста, объяснить подробнее в чем именно тут проблема? Интуитивно кажется что проблема может возникнуть если в какой-то момент функция не найдется, но как такое может произойти, если мы всегда рассматриваем "качественно" одинаковые подмножества - это всегда подмножества равномощные $A$ и соответсвенно неважно какое количество шагов было сделано до?
Второй вопрос, а что если мы явно укажем функцию?
1. $f' = f^2$
2. $f'' = f' \circ f = f^3$
...

mihaild в сообщении #1626910 писал(а):

И можно просто явно выписать счетное подмножество $A$.

Спасибо, завтра попробую.

mihaild в сообщении #1626910 писал(а):

Тогда скорее всего стоит взять такое определение: множество бесконечно если оно не-конечно, множество конечно если в нём ровно $n$ элементов для какого-то натурального $n$.

Спасибо, за уточнение, думаю это то что надо.

[mihaild]

gosetrov в сообщении #1626932 писал(а):

Интуитивно кажется что проблема может возникнуть если в какой-то момент функция не найдется, но как такое может произойти, если мы всегда рассматриваем "качественно" одинаковые подмножества - это всегда подмножества равномощные $A$ и соответсвенно неважно какое количество шагов было сделано до?

Проблема в том, что Вы доказали, что для любого $n$ найдется $n$ функций. Но из этого не выстраивается последовательность.

gosetrov в сообщении #1626932 писал(а):

Второй вопрос, а что если мы явно укажем функцию?

Да, вот так лучше, теперь можно собрать именно последоватльность множеств, а не просто любой конечный набор.

[gosetrov]

mihaild в сообщении #1626910 писал(а):

Докажите, что если $a \in A \setminus B$, то $f^n(a) \neq f^m(a)$ для $n \neq m$ ($f^n$ - композиция $f$ с собой $n$ раз).

$ ] a \in A \setminus B$, $f^n(a) = f^m(a)$, n < m$, восопльзуемся предыдущими построением $B, B', ..., B ^n',...B^m', B $\supset B' \supset ...\supset B^n'\supset ...\supset B^m'$ и $B \ne B',..., f^n(a) \in B^{(n-1)}' \setminus B^n' , f^m(a) \in B^{(m-1)'}$ - противоречие.
Тогда можно построить счетное множество следующим образом: $ C = \left\lbrace f(a), f^2(a), f^3(a),... \right\rbrace$
Верно?

[mihaild]

А почему например $B'' \neq B'''$?

[gosetrov]

Можно показать что $B'' \setminus B''' \sim A \setminus B \Rightarrow B'' \setminus B''' = \varnothing \Rightarrow A \setminus B = \varnothing$, но это не так, а значит $B'' \setminus B''' \ne \varnothing $

[mihaild]

Да, теперь всё хорошо.