Процесс восстановления

[meshok]

Доброго времени суток!
Пусть $\{\xi_n \}$ - независимые одинаково распределенные случайные величины, $\xi_n \geq 0$ и $ \xi_n \ne \operatorname{const}$ п.н.
$S_n=\xi_1+\ldots + \xi_n, S_0=0$. Процесс $X_t=\sup\{n:S_n\leq t\},t \geq 0$ называется процессом восстановления.
Доказать:
1)

$$\lim\limits_{t\to+\infty}X_t=+\infty\, a.s.$$

2) Если $\xi_n$ не обязательно одинаково распределены, то $X_t$ не обязательно уходит на бесконечность даже за бесконечное время.
Решение.
1) Пусть $\xi_n$ являются собственными случайными величинами, т.е. $P(\xi_n<+\infty )=1$. Тогда

$$P(\lim\limits_{t\to+\infty}X_t=+\infty)=P(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\{\xi_n<+\infty\})=\lim\limits_{n\to+\infty}P(\bigcap\limits_{k=1}^{n}\{\xi_k<+\infty\})=\lim\limits_{n\to+\infty}1=1.$$

Пусть $\xi_n$ не обязательно являются собственными, например $P(\xi_i=1)=P(\xi_i=+\infty)=1/2$. Тогда $P(\lim\limits_{t\to+\infty}X_t=0)=P(\xi_1=+\infty)=1/2$. То есть в первом пункте нужно еще заранее потребовать, чтобы случайные величины $\xi_i$ были собственными.
2) Если все случайные величины являются собственными, то проходит рассуждение выше

$$P(\lim\limits_{t\to+\infty}X_t=+\infty)=P(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\{\xi_n<+\infty\})=\lim\limits_{n\to+\infty}P(\bigcap\limits_{k=1}^{n}\{\xi_k<+\infty\})=\lim\limits_{n\to+\infty}1=1,$$

поскольку оно использует только независимость.
Правильно ведь, что для того чтобы $X_t$ не уходил на бесконечность даже за бесконечное время, обязательно нужны несобственные случайные величины?