Норм. л. пр. - доказать, что система множеств база топологии

[UmnyjDurak]

Добрый день.
Пусть $X$ нормированное векторное простанство. Для произвольного $n \in \mathbb{N}$, произвольных непрерывных функционалов $f_1 , f_2 ,..., f_n $ и произвольного положительного $\varepsilon$ положим $U(f_1 , f_2 ,..., f_n ,\varepsilon )$ множество всех таких $x\in X$, что $\left\lvert f_i (x)\right\rvert < \varepsilon$ для всех $i \leqslant n$. Докажите, что система множеств $B$ состоящая из всех множеств вида $x + U(f_1 , f_2 ,..., f_n ,\varepsilon )$, является базой топологии пространства $X$.
Попросили меня помочь решить задачу (из задания мне непонятно, система должна быть базой какой-то топологии или той, которая определяется нормой - пробую решить последний случай), но я чего-то туплю. То, что каждое множество из заданой системы открыто, мне ясно. А вот если взять точку $x$ из произвольного открытого множества $V$ и попытаться найти множество вида $x + U(...)$ содержащееся в $V$, то задача вроде сводится к нахождению такого непрерывного функционала $f$ и окрестности $\delta$ нулевого вектора, что для какого-то заданного $\varepsilon$, $f(y) \geqslant \varepsilon$ для $y$ не лежащего в этой окрестности. Как найти такой функционал, я не знаю. Не подскажете пожалуйста, как его найти, или может решать надо совсем по-другому?

[dgwuqtj]

То, что вы пытаетесь доказать, просто неверно. Множества вида $x + U(f_1, \ldots, f_n, \varepsilon)$ не ограничены по норме (если $X$ бесконечномерное), поэтому они не могут содержаться в открытом шаре.

[UmnyjDurak]

А можете пожалуйста поделиться, почему эти множества получаются не ограничены в бесконечномерном пространстве?

[mihaild]

Потому что для произвольного конечного набора функционалов существует ненулевой вектор, на котором все эти функционалы равны нулю.

[UmnyjDurak]

Точно
Спасибо

[мат-ламер]

UmnyjDurak в сообщении #1626758 писал(а):

Докажите, что система множеств $B$ состоящая из всех множеств вида $x + U(f_1 , f_2 ,..., f_n ,\varepsilon )$, является базой топологии пространства $X$.

Наверное составитель условия в подсознании имел в виду написать "базой некоей топологии на множестве $X$". Но получилось как получилось. А пространство $X$ уже вполне определено условием.