алгебраическая структура на длинной прямой Александрова

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума! Я недавно прочёл про то, что без существования счётной базы утверждение о единственности лево-инвариантной меры Хаара на топологической группе неверно. В качестве контр-примера приводилась следующая конструкция:

Рассмотрим длинную прямую Александрова. Длинная прямая есть полугруппа, и порожденная ею группа Ли это просто объединение двух копий длинной прямой, соединенных в нуле. На длинной прямой есть две меры Хаара:
одна стандартная (Лебега), другая кладет каждому подмножеству, содержащемуся в замкнутом отрезке, ноль, а не содержащемуся в замкнутом отрезке - 1. Эти меры очевидно непропорциональны.

У меня вопрос:
Как вводится структура полугруппы на длинной прямой, и как из неё получить группу?
Я могу с уверенностью сказать, что структура полугруппы вводится на длинном луче, но получившаяся полугруппа не будет коммутативной, поэтому стандартный способ построения группы путём факторизации декартового произведения не работает.

[dgwuqtj]

Bober2 в сообщении #1626684 писал(а):

Как вводится структура полугруппы на длинной прямой, и как из неё получить группу?

Я что-то сомневаюсь, что на длинной прямой (полученной склейкой двух длинных лучей за вершины) есть структура топологической группы. Пусть $G$ - произвольная топологическая группа, $1 \in U$ - окрестности единицы в ней. Рассмотрим множество $U' = \bigcup_{n = 1}^\infty (U \cup U^{-1})^n$, это открытая подгруппа в $G$. Если в качестве $G$ взять длинную прямую, а в качестве $U$ взять интервал $(-1, 1)$, то $U'$ будет гомеоморфно обычной прямой (как связное сепарабельное открытое подмножество длинной прямой). Значит, $G$ как топологическое пространство является дизъюнктным объединением копий $U' \cong \mathbb R$. Но с длинной прямой это не так, она связна и не сепарабельна.

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1626699 писал(а):

Bober2 в сообщении #1626684 писал(а):

Как вводится структура полугруппы на длинной прямой, и как из неё получить группу?

Я что-то сомневаюсь, что на длинной прямой (полученной склейкой двух длинных лучей за вершины) есть структура топологической группы. Пусть $G$ - произвольная топологическая группа, $1 \in U$ - окрестности единицы в ней. Рассмотрим множество $U' = \bigcup_{n = 1}^\infty (U \cup U^{-1})^n$, это открытая подгруппа в $G$. Если в качестве $G$ взять длинную прямую, а в качестве $U$ взять интервал $(-1, 1)$, то $U'$ будет гомеоморфно обычной прямой (как связное сепарабельное открытое подмножество длинной прямой). Значит, $G$ как топологическое пространство является дизъюнктным объединением копий $U' \cong \mathbb R$. Но с длинной прямой это не так, она связна и не сепарабельна.

Да, на длинной прямой нет структуры топологической группы, однако, если мы рассмотрим её как луч с выброшенной точкой, то там будет структура полугруппы. Но что нужно понимать под фразой "группа Ли, порождённая этой топологической полугруппой" я не знаю

[dgwuqtj]

Я имел в виду двустороннюю длинную прямую, то, что по идее подразумевается под фразой "просто объединение двух копий длинной прямой, соединенных в нуле". В книжке Folland, A course in abstract harmonic analysis утверждается, что на любой локально компактной хаусдорфовой топологической группе мера Хаара единственна. Доказательство в такой общности я не разбирал, там мерой Хаара называется мера Радона, инвариантная относительно левых или правых сдвигов. Мне же хватает случая, когда группа является локально компактным польским пространством.