Равномерная непрерывность 2

[dragonfly132]

Доказать или опровергнуть равномерную непрерывность функции: $f(x) = \frac{1}{1+x^4},\,M=\mathbb{R}$
После преобразований мы получаем: $|f(x) - f(x)| = \frac{|x^4-y^4|}{(1+x^4)(1+y^4)} \leqslant \frac{|x-y||x+y||x^2+y^2|}{(1+x^4)(1+y^4)}$
Насколько понимаю, можно выразить отсюда |x-y| и найти подходящую $\delta(\varepsilon)$, но пока не получается это сделать. Прошу помочь

[mihaild]

Оцените в числителе $|x|, |y| \leq \max(|x|, |y|)$. Останется сверху куб, а снизу четвертая степень.

[dragonfly132]

тогда мы получаем, приняв без ограничения общности, что x > y: $\frac{|x-y||x+y||x^2+y^2|}{(1+x^4)(1+y^4)}\leqslant\frac{|x-y||x+y||x^2+y^2|}{x^4(1+y^4)}\leqslant\frac{|x-y|2|x|2|x^2|}{x^4(1+y^4)}=\frac{|x-y|4}{x(1+y^4)}\leqslant\frac{4|x-y|}{x}$, а отсюда уже не получится выразить $\delta$ только через $\varepsilon$, что я упускаю?

[мат-ламер]

dragonfly132 . Если запутаетесь вконец с вашими оценками, то в принципе доказывать можно и не прямо в лоб по определению. Но сначала добейте ваш подход (по возможности).

[Cash]

dragonfly132, убрав единицу из знаменателя, вы допускаете ноль в знаменателе, делая всю дробь неограниченной.
Все выкладки не изменятся, если вы замените $1+x^4$ на $\max(1, x^4)$, достигая в итоге цели.
А можно ничего не заменять и останется доказать ограниченность
$f(t)=\frac{4t^3}{1+t^4}$
с чем без труда справитесь.

[Padawan]

А Вы знаете теорему Кантора о равномерной непрерывности?