Ядро ковариантного дифференциала

[VanD]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, можно ли где-то найти явное описание ядра ковариантного дифференциала, действующего на $(n-1)$-формы со значениями в алгебре Ли структурной группы векторного расслоения?
Более конкретно, пусть есть гладкое локально тривиальное векторное расслоение $\pi\colon E\to M$, $\dim M = n$ с линейной связностью. Рассмотрим тривиализацию и обозначим $1$-форму связности через $A$. Меня интересует вопрос о том, как в общем виде (локально) решается уравнение

$$ dk + [A, k] = 0\,, $$

где $k$ -- это $(n-1)$-форма со значениями в алгебре Ли структурной группы. Интересен общий вид решения в зависимости от $A$. Можно ли сказать что-то для каких-нибудь компактных групп?

[пианист]

(Оффтоп)

Что-то никто не откликнулся..
Увы, не могу ничего предложить по делу, однако позвольте поинтересоваться:

VanD в сообщении #1626345 писал(а):

$(n-1)$-формы со значениями в алгебре Ли структурной группы векторного расслоения

- что это за зверь такой? Вот если бы была $1$-форма, это бы было понятно, связность. По-старинному $\Gamma^i_{jk}dx^k$, если взять от этого дифференциал, получится кривизна. А Ваша конструкция это что?

[VanD]

(Оффтоп)

Я пытаюсь проверить свою гипотезу о том, как правильно описывать вариационную природу калибровочных систем на уровне их внутренней геометрии. Это соотношение возникает как чисто техническое препятствие при варьировании (в правильном классе) действия, правильно вшитого внутрь бесконечно продолженных уравнений Янга-Миллса. С технической точки зрения оно играет роль связи в вариационной задаче. Оно также отвечает пространственной части наивной декомпозиции на пространство+время. Поэтому вылезает $(n-1)$-форма ($n$ -- размерность пространственной части). При этом форма связности $A$ и эта вот $k$ выполняют роль не связанных друг с другом (независимых по отношению друг к другу) зависимых переменных, поскольку я забочусь только о пространственной части разложения, а эволюция во времени возникнет автоматически при варьировании.

Так на пальцах это сложно объяснить, а для деталей это вещи ещё слишком не завершённые. С Максвеллом всё сработало как я и подозревал, а тут теперь нужно вот такую связь разрешить. Либо учитывать её с помощью метода множителей Лагранжа, но я так пока и не выяснил, находит ли он все (гладкие) условно-стационарные точки. Для Максвелла метод множителей давал в точности то же, что честное варьирование после разрешения связи $dk = 0$ (где удобно записать $k = \ast E = E^i \partial_i \lrcorner\, d^n x$) в виде $E^i = \partial_j h^{ij}$ при $h^{ij} = -h^{ji}$. В общем это что-то вроде гамильтонова формализма, но силами внутренней геометрии уравнений. Соотношение играет роль технического препятствия. Для самой абстрактной геометрической конструкции его нет, но для практических нужд есть :(

[VanD]

Всё-таки чуть более конкретно поясню, откуда появляется вопрос.

Уравнения Янга-Миллса

$$ \partial_{\mu} F^{a\, \mu\nu} + f^a_{\ \, bc} A^b_{\mu} F^{c\, \mu\nu} = 0 $$

можно записать в виде недоопределённой эволюционной системы со связью. Для этого $F^{a\, 0i}$ будем воспринимать как полноправные зависимые координаты, а $F^{a\, ij}$ лишь как обозначение для

$$ F^{a\, ij} = \partial^i A^{a\, j} - \partial^j A^{a\, i} + f^a_{\ \, bc} A^{b\, i} A^{c\, j}\,. $$

Теперь уравнения Янга-Миллса можно записать в искомом виде

$$ \begin{cases} \partial^0 A^{a\, i} = \partial^i A^{a\, 0} + F^{a\, 0i} - f^a_{\ \, bc} A^{b\, 0} A^{c\, i},\\ \partial_0 F^{a\, 0i} = \partial_j F^{a\, ij} - f^a_{\ \, bc} A^{b}_0 F^{c\, 0i} + f^a_{\ \, bc} A^b_j F^{c\, ij},\\ \partial_i F^{a\, 0i} + f^{a}_{\ \, bc} A^b_i F^{c\, 0i} = 0\,. \end{cases} $$

Первое уравнение просто определяет $F^{a\, 0i}$ в терминах $A$, третье получается при $\nu = 0$, второе при $\nu = i$.
Последнее уравнение (оно же связь) и приводит к исходному вопросу, где $k = F^{a\, 0i} \partial_i \lrcorner \, dx^1\wedge \ldots \wedge dx^{n}\, T_a$, а из исходной формы связности $A$ удалено связанное со временем слагаемое $A^{a}_0 dx^0 \, T_a$. Геометрически это всё лишь причуды того куда и как вложили систему, но для счёта внутри уравнений (бесконечно продолженных, т.е. вместе со всеми дифференциальными следствиями) приходится с этим соотношением разбираться.

Надеюсь, я не наврал со всеми этими индексами...