Оценки спектра произведения матриц

[Really]

Подскажите, пожалуйста, литературу, или натолкните на мысль,
как оценить спектр произведения матриц в терминах исходных матриц.
Простейший пример такой оценки $| \lambda(AB) | < \|A\|\cdot\|B\|$.
Но это слишком грубо.Однако, не встречал чего-либо точнее.

Что-то об этом спектре ведь можно сказать? Например, в классах $D, UT, LT$ -
диагональных, верхнетреугольных, нижнетреугольных матриц верно следующее

$$ \text{Sp} (AB)\subset \{\lambda\cdot\mu | \lambda\in \text{Sp} A, \mu \in \text{Sp} B\}. $$

Возможно что-то похожее имеет место и для симметричных матриц.

Однако в моем случае матрицы несимметричные, и не такие хорошие как, скажем, $UT$.
Что можно сказать о спектре произведения несимметричных матриц, в каких случаях верны
оценки, типа выше приведенной, и т.д. Заранее спасибо.

[Narn]

А Вы не смотрели Гантмахера, Теорию матриц? Добавление Лидского в конце как раз об оценках собсственных чисел произведения. Но вроде только для симметричных матриц.

[Really]

Спасибо. Посмотрел. Но речь там идет действительно только об эрмиттовых матрицах.
Нашел кое-что об этом еще и у Хорна в "Матричном анализе". Но тоже не много.

Похоже, что представление спектра $AB$ в виде произведение каких-то собственных чисел
$A$ на с.ч. $B$ возможно только при одновременной приводимости их к треугольному виду.
Одновременному, в том смысле, что преобразование подобия должно осуществляться
одним и тем же оператором. Есть теорема Маккоя - критерий одновременной
триангуляризации двух матриц. Но применить его на практике не представляется возможным.
Так, что $UT$ и $NT$ похоже самые широкие классы в которых это можно смело утверждать.

Достаточным условием будет диагонализируемость $A$ и $B$ и то, что $AB=BA$ - для
треугольных матриц, как видно, это вовсе не обязательно.

А вот каких-то просто проверяемых условий на несимметричные матрицы для того, чтобы
$\rho(AB)\leqslant\rho(A)\rho(B)$, $\rho$ - спектральный радиус, я не нашел. Возможно их нет.

[ewert]

Really писал(а):

А вот каких-то просто проверяемых условий на несимметричные матрицы для того, чтобы
$\rho(AB)\leqslant\rho(A)\rho(B)$, $\rho$ - спектральный радиус, я не нашел. Возможно их нет.

Их и не может быть. Например, если $A$ нильпотентна, то $AB$ -- вовсе не обязательно.

[Really]

Цитата:

Их и не может быть. Например, если $A$ нильпотентна, то $AB$ -- вовсе не обязательно.

Я полностью согласен с вами. В общем случае эта оценка конечно не верна. Меня интересовали какие-то достаточные условия на
матрицы, так чтобы она выполнялась. Нильпотентность вовсе не обязательна для того чтобы неравенство нарушалось. Даже если обе матрицы обратимы, это не всегда так.

[Eugeen1948]

См. статью: В.Е. Шестопал "Усиление теорем локализации Гершгорина и Брауэра" ИТЭФ, УДК 512.643.5

[Really]

Спасибо. Посмотрю.