Решения Навье-Стокса (с шумом) с бесконечной энергией?

[Mirage_Pick]

На днях просматривал новые работы и наткнулся на статью [1]. Авторы доказали глобальное существование решения в приличном пространстве для двумерного Навье-Стокса (с шумом). Монстры какие-то, наверное, на Филдса тянут - по крайней мере, для меня, как любителя, впечатление такое. Но кое-что меня смутило. Во введении записано:

Цитата:

In our setting, even for smooth initial data, the $L^2$ norm of the solution is infinite at any positive time: this motivates our division of scales, so that our efforts concentrate towards establishing an energy estimate for the large scale component of the solution.

Это что за чудо-юдо?! Правильно ли я понимаю, что энергия решения всегда остается бесконечной? В таком случае имеет ли какое-либо отношение работа к жизни нашей грешной или она всё о делах небесных? Я клоню к тому, что порядочные жидкости, наверное, имеют все-таки конечную (кинетическую) энергию, и непонятно, какой смысл имеют решения с бесконечной энергией... Разве что они по Сансаре крутятся...

Прошу, проясните несведущему этот (небольшой?) момент.

1. Hairer M., Rosati T. Global existence for perturbations of the 2D stochastic Navier–Stokes equations with space-time white noise // Annals of PDE. – 2024. – Т. 10. – №. 1. – С. 3.

[Mirage_Pick]

Я, кажется, понял, в чем дело. Бесконечная область определения! Для таких областей, которые для меня суть математическая абстракция, имеет смысл рассматривать решения с бесконечной энергией. Хотя бы просто потому, что есть, к примеру, пространственно периодические решения Весьма странно было бы требовать, чтобы норма решения обязательно убывала к нулю при стремлении к бесконечности.

[Утундрий]

Когда рассматривают решение на торе, то так обычно и говорят - решение, так сказать, на торе. Но тогда бесконечность энергии подразумевает расходимость самого решения на множестве ненулевой меры. Это так, по напетому. Статью не смотрел. У меня в последне время некоторая изжога на цирк.

[SomePupil]

Mirage_Pick в сообщении #1625629 писал(а):

В таком случае имеет ли какое-либо отношение работа к жизни нашей грешной или она всё о делах небесных?

К "жизни грешной" работа имеет непосредственное отношение, так как все рассмотренные там величины, в том числе энергия, конечны и имеют смысл после соответствующей регуляризации.

Mirage_Pick в сообщении #1625629 писал(а):

Монстры какие-то, наверное, на Филдса тянут

Уже Один из авторов уже получил Филдса в 2014.

Mirage_Pick в сообщении #1625629 писал(а):

Разве что они по Сансаре крутятся...

Выход "на Сансару" происходит уже на этапе, когда начинают рассматривать белый шум. Ведь идеального белого шума со всем диапазоном частот в природе не существует:

[drzewo]

Существование глобального классического решения для $2D-$Навье-Стокса (стандартного ,без стохастики) довно известно.

[SomePupil]

Стоит добавить.

Mirage_Pick в сообщении #1625629 писал(а):

Я клоню к тому, что порядочные жидкости, наверное, имеют все-таки конечную (кинетическую) энергию, и непонятно, какой смысл имеют решения с бесконечной энергией...

При переходе к другой инерциальной системе отсчета с ненулевой постоянной скоростью относительно исходной жидкость в неограниченной области уже будет допускать бесконечную кинетическую энергию. В этом случае, требуя конечную энергию, теряем галилеевскую инвариантность.

К тому же бывают, например, неограниченные решения Юдовича в 2D. Так что не сказал бы, что "порядочные" жидкости обязаны иметь ограниченную энергию. В случае моделирования больших торнадо с увеличивающейся от центра скоростью при приближении бесконечной плоскостью/пространством, наоборот, естественно допускать неограниченные решения.

См. Unbounded Yudovich Solutions of the Euler Equations.