Исследовать непростой ряд на сходимость

[Laguna]

Здравствуйте, господа, недавно столкнулся со следующей задачей на ряды: "Исследуйте ряд

$$\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$$

на абсолютную и условную сходимость, где $a_k = $$\int\limits_{0}^{\frac{\sin k}{k}}$\sin(t)$ $\cdot$ $\frac{dt}{t}$$$ ". У меня есть решение половины этой задачи и меня интересует правильное ли оно, является ли математически строгим. Вот решение: "Используя формулу Тейлора, представим $\sin(t)$ $=$ $t$ $+$ $O(t^3)$, подставим это выражение в подынтегральную функцию, проинтегрируем и получим, что $a_k$ $=$ $\sin(k)$ $\cdot$ $\frac{1}{k}$ $+$ $O(\sin^3(k) \cdot \frac{1}{k^3})$. А далее мы отдельно исследуем сходимость слагаемых. Первое слагаемое сходится(Условно), и второе слагаемое тоже, очевидно, сходится(причём абсолютно). Таким образом, наш ряд, как минимум, сходится условно. И именно в этой части у меня и возник вопрос о правильности такого решения, а именно, можно ли всегда так интегрировать О-символику?

[Null]

Laguna в сообщении #1625494 писал(а):

И именно в этой части у меня и возник вопрос о правильности такого решения, а именно, можно ли всегда так интегрировать О-символику?

Для понимания расшифруйте О-символику по определению. Например есть свойство что если $f(x)\le g(x)$ на $[a;b]$,где $a\le b$, то $\int\limits_{a}^b f(x)dx\le\int\limits_{a}^b g(x)dx$

[Laguna]

Null в сообщении #1625495 писал(а):

Laguna в сообщении #1625494 писал(а):

И именно в этой части у меня и возник вопрос о правильности такого решения, а именно, можно ли всегда так интегрировать О-символику?

Для понимания расшифруйте О-символику по определению. Например есть свойство что если $f(x)\le g(x)$ на $[a;b]$,где $a\le b$, то $\int\limits_{a}^b f(x)dx\le\int\limits_{a}^b g(x)dx$

Да, спасибо, я разобрался