Гомеоморфен ли отрезок квадрату

[seraphimt]

Добрый день. В курсе анализа подкинули задачек, очень желательных к решению для понимания. У меня вроде бы вышло, но хочу удостовериться, что всё правильно понимаю. Расписал очень подробно поэтому.
1) Гомеоморфен ли отрезок квадрату. Пусть да. Тогда существует биекция, такая, что она и обратная к ней непрерывны.
Вот тут непонятка - мы рассматриваем отрезок и квадрат как самостоятельные пространства или как вложенные в плоскость? В первом случае промежутки вида $[a,c) $ и $(c,b], a<c<b $ будут открытыми. Тогда квадрат без образа точки $c$ является объединением двух множеств:

открытых(из-за непрерывности обратного отображения, открытые множества отрезка переходят в открытые множества квадрата)
непересекающихся(тк биекция)
непустых(опять таки биекция)

т.е квадрат без одной точки - несвязен. Но он очевидно линейно связен, а значит и связен. Противоречие.
Во втором случае можно рассмотреть квадрат без трёх точек - $a, b, c$ и получили бы тоже самое.

Пока писал, понял, что ещё проще было бы в другую сторону. Возьмём квадрат без трёх точек. Он связан, а образ связного множества при непрерывном отображении связен. Но его образом будет отрезок без трёх различных(из-за биекции) точек. Значит одна из точек попадёт в интервал $(a,b)$. Противоречие.

2)Гомеоморфен ли отрезок двум пересекающимся перпендикулярным отрезкам(как крест) $X$. Также предположим, что существует гомеоморфизм.
Пусть точка пересечения отрезков из $X$отображается в точку $c$ отрезка $[a,b]$.
Если $c=a$ или $c=b$, тогда промежуток непрерывно отображается в 4 линейно несвязанных куска $X$. А в $\mathbb{R}^n$ линейная связанность равносильна связности. Противоречие.
Если $c \ne a$ и $c\ne b$, тогда каждая из двух частей отрезка является связной и должна отобразиться строго в одно(из-за непрерывности) из 4х связных множеств $X$. Значит как минимум 2 непустых подмножества $X$ не имеют прообразов. Противоречие с биективностью.

[Leeb]

seraphimt в сообщении #1625473 писал(а):

мы рассматриваем отрезок и квадрат как самостоятельные пространства или как вложенные в плоскость

Что значит "самостоятельные пространства"? Если говорите о гомеоморфизме между пространствами, то у вас должна быть топология на каждом из них. Обычно предполагается, что топология отрезка и квадрата индуцирована с плоскости или $\mathbb{R}^n$ как метрическая, т.е. оба рассматриваются как метрические подпространства $\mathbb{R}^n$ (иначе можно напридумывать топологий, где они гомеоморфны). Тогда да, ваше рассуждение о связности в целом верно, только надо оговорить отдельно про внутреннюю точку отрезка, если точка крайняя, то сходу противоречия нет. Или взять три точки, как вы дальше в принципе и сделали. Но если уж хотите "совсем подробно", то здесь бы лучше еще показать, что квадрат без нескольких точек линейно связен, а отрезок - нет.

[

seraphimt в сообщении #1625473 писал(а):

А в $\mathbb{R}^n$ линейная связанность равносильна связности.

Это верно только для хороших подмножеств $\mathbb{R}^n$, например, открытых в стандартном $\mathbb{R}^n$ или подмногообразий, но не для любых подмножеств, даже замкнутых.

[Mikhail_K]

seraphimt в сообщении #1625473 писал(а):

Гомеоморфен ли отрезок квадрату

seraphimt в сообщении #1625473 писал(а):

Вот тут непонятка - мы рассматриваем отрезок и квадрат как самостоятельные пространства или как вложенные в плоскость?

Как самостоятельные пространства. У нас же вопрос о гомеоморфности отрезка и квадрата, а не каких-то содержащих их пространств.

[seraphimt]

Leeb в сообщении #1625476 писал(а):

Это верно только для хороших подмножеств $\mathbb{R}^n$, например, открытых в стандартном $\mathbb{R}^n$ или подмногообразий, но не для любых подмножеств, даже замкнутых.

Да, согласен, это я перепутал с утверждением о том, что область в $\mathbb{R}^n$ линейно связна, когда она связна.

Тогда, попробую иначе показать, что $X$ без точки пересечения несвязно. Несвязность равносильна тому, что существует непрерывная функция $f: X \to \mathbb{R}$, принимающая ровно 2 значения. Возьмём $f$ такую - единица на одном из полуинтервалов и 0 на другом.
Покажем, что непрерывная. Должно быть, что $\forall \epsilon >0 \exists \delta>0: \ \|x-x_0\|<\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. Действительно, как только $\delta< \|c-x_0\|$, где $c$ - точка пересечения, то $x$ берутся только одного полуинтервала и $|f(x)-f(x_0)| = 0$. Таким же образом получается, что любое попарное объедение полуинтервалов $X$ без $c$ несвязно.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1625487 писал(а):

Тогда, попробую иначе показать, что $X$ без точки пересечения несвязно. Несвязность равносильна тому, что существует непрерывная функция $f: X \to \mathbb{R}$, принимающая ровно 2 значения.

Проще доказать, что множество содержит несколько непересекающихся компонент связности - одновременно открытых и замкнутых множеств.