Задача по теории групп

[A.M.V.]

Пусть G-группа и T-левый смежный класс группы G по некоторой ее неединичной подгруппе. Предположим, что T при замене любого его элемента любым элементом из G/T снова будет смежным классом G Найти строение G.
С чего начать?

[dgwuqtj]

Можете начать с того, что подмножество $T \subseteq G$ является смежным классом по подгруппе (неважно, левым или правым) тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно операции $(x, y, z) \mapsto xy^{-1} z$.

[vpb]

Можно с такого вопроса начать: допустим, дано подмножество в группе, и мы знаем, что оно является левым смежным классом по некоторой подгруппе. Но по какой --- не знаем. Можем ли мы эту подгруппу восстановить ?
А затем такой вопрос: дано подмножество, которой является подгруппой, но без одного элемента. Можем мы эту подгруппу восстановить ? Когда можем, а когда нет ?