Цвет уходящего

[Leeb]

Трехмерное пространство раскрашено в $2023$ цвета. Верно ли, что найдутся указанные фигуры с вершинами одного цвета: а) правильный тетраэдр, б) правильный октаэдр и куб, в) правильный додекаэдр и икосаэдр, г) правильный плоский $n$-угольник, д) прямоугольный параллелепипед объема 1?

[Null]

а)-г) - обобщенная Теорема ван дер Вардена

[Leeb]

Да, оказывается, пункты а), б) сразу по обобщенной теореме ван дер вардена для решеток, а пункты в), г) выводятся из теоремы о раскраске пространства, которая также обобщает теорему ван-дер Вардена. Работает не только для вершин правильных многогранников и многоугольников, но и для вершин любых многогранников с заданной комбинаторной структурой и вообще любых конечных наборов точек.