Особые решения.

[renatxat]

$y'=\sqrt[3]{y^2}$
Решением данного дифференциального уравнения являются функции $y=0$ и $y=(x+c)^3$.
С одной стороны, $y=0$ является особым решением, так как в точке $(-c;\,0)$ второе решение касается его при любом $c \in \mathbb{R}$. С другой стороны, любое особое решение должно принадлежать дискриминантному множеству, но $ \frac{\partial (p-\sqrt[3]{y^2})}{\partial p} = 1 \neq 0$. Следовательно, это множество пустое. Значит, и особых решений быть не должно. Объясните, пожалуйста, в чём я не прав.

[Combat Zone]

renatxat в сообщении #1623848 писал(а):

но $ \frac{\partial (p-\sqrt[3]{y^2})}{\partial p} = 1 \neq 0$

Функция, которую вы пытаетесь дифференцировать, должна иметь (в частности), непрерывную производную по $y$. А она не имеет.
Потому целесообразнее возвести обе части уравнения в куб и работать с этим.

renatxat в сообщении #1623848 писал(а):

$y=(x+c)^3$.

Проверьте, кажется, немного не так.

[пианист]

renatxat
Вы уточните, что за особые решения имеются в виду в задаче. Обычно, все-таки, особым называется решение, которого в каждой точке касается другое, а у Вас такая только точка ноль.
Дискриминантная кривая бывает, когда уравнение не разрешено относительно $y'$.

[Combat Zone]

пианист в сообщении #1623897 писал(а):

Обычно, все-таки, особым называется решение, которого в каждой точке касается другое, а у Вас такая только точка ноль.

Среди названных "решений" решение только $y=0$. Остальные нужно исправить. И тогда нулевое решение будет особым в самом что ни на есть общепринятом смысле.

[пианист]

Combat Zone
Да, Вы правы, ерунду написал.

[пианист]

А, кажется, понял, в чем проблема.
Особое решение обязательно будет в дискриминантной кривой, если функция $F(x, y, p)$, которой задается оду $F(x, y, y') = 0$, гладкая.
А если нет, неоднозначность может быть и в точках негладкости. В данном случае именно так и есть: функция $p - y^{\frac{2}{3}}$ негладкая при $y = 0$.

[Combat Zone]

Да, вообще говоря, нужно смотреть на множество точек, где нарушаются условия единственности. В данном случае - это точки, где отсутсвует производная F по y. То есть прямая $y=0$. Будем считать, что нам понравилось это повторять.

[пианист]

Combat Zone
Доброе слово - чего ж не повторить. Даже когда нет револьвера