последовательные простые в неожиданных местах.

[gris]

Рассмотрим простое число и достаточно длинную знакочередующуюся сумму:
2-3+5-7+11-13+17 или
3-5+7-11+13-17+19
Выпишем последовательности частичных сумм:
[2, -1, 4, -3, 8, -5, 12, -7, 16, -13, 18] или
[3, -2, 5, -6, 7, -10, 9, -14, 15, -16, 21]
Подпоследовательности с одинаковым знаком монотонны.
Оставим в последовательностях простые числа.
[2] или
[3, 5, 7, 23, 29]
И, наконец, оставим последовательности с началом из последовательных простых, регистрируемые по возрастанию длин:
1: [2]
2: [3, 5, 7]
3: [3, 5, 7]
4: [47, 53, 59, 61]
5: [3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329]
6: [3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329]
7: [13209121, 13209139, 13209151, 13209167, 13209173, 13209179, 13209191, 13209211]
8: [13209121, 13209139, 13209151, 13209167, 13209173, 13209179, 13209191, 13209211]
Ну и так далее.
Вопрос: представляет ли научный интерес изучение подобных последовательностей?
Не стоит ли немного изменять правила формирования последовательностей: начинать со знака минус, принимать и отрицательные простые?
Не надо ли тратить силы компьютеров для нахождения простых, начинающих последовательность из 9 и более последовательных простых?
Не достойна ли последовательность
2,3,3,47,3301,3301...
робко занять скромное место в OEIS?
Ну и вообще, не известно ли это ещё из книжки Серпинского?

[Yadryara]

gris в сообщении #1623783 писал(а):

Не достойна ли последовательность
2,3,3,47,3301,3301...
робко занять скромное место в OEIS?

Так это у них надо спрашивать. Если у Вас есть акк в OEIS, то надо им написать и спросить. Борзо, а не робко

[gris]

Нашлось и девяточка
9: [48835901333, 48835901369, 48835901383, 48835901431, 48835901453, 48835901483, 48835901497, 48835901539, 48835901557]
Одна в интервале [1, 2E11] и восемь восьмёрок. Комп трудился полчаса. Надо бы обдумать это дело.

(code)

{\\3-5+7-11+... to 3,5,7
N=10^7;      \\ cycle
kcycles=10;  \\ number of them
pfrom=195 170 616 367;    \\ starting point 
minl=8;      \\ min lenght of tuple
\\

pz=nextprime(pfrom); 
for( j=1,kcycles,   
  pf=vector(N); \\ vector of primes
  kp=0; pp=pz;
  forprime( p=pz,pz+100000000000, kp++;
    pf[kp]=p;
    if(kp>N-1,  break);
  );
  
  for( ip=2,N-41,
    pn=pf[ip]; 
    ii=ip;
    s=pn; p=pn; pp=pn;  vp=[pn];
    forstep( jp=1,39,2, s=s-pf[ip+jp]+pf[ip+jp+1];
      if(s<pf[ii+1], next
      , if(s!=pf[ii+1], 
          if(#vp>minl-1, printf("%d: %d\n", #vp,vp));next(2)
        , ii++;pp=pf[ii];vp=concat(vp,s);
        );  \\end if s!=
      ); \\end if s<
    ); \\end forstep jp
  ); \\end for ip
  pz=pf[N-40]; printf("step %d to %d %9d\n",j,pz\10^9,pz%10^9 );
); \\end for j
printf("\nfrom %d to %d lenght %d\n",pfrom,pz,minl);
} 

[waxtep]

Ага (я честно говоря очень не сразу понял, что Вы делаете), берем бесконечную последовательность $3,3-5+7,3-5+7-11+13,\ldots$ и ищем в ней минимальные подпоследовательности подряд идущих простых чисел. Такой вариант созвездия простых, где расстояния между звездочками даются разностями других подряд идущих простых - $x,x-p_n+p_{n+1},x-p_n+p_{n+1}-p_{n+2}+p_{n+3}\ldots$. Интересно и черт его знает, к сожалению, больше ничего и не скажу

-- 31.12.2023, 18:25 --

А что касается обобщений, я бы попробовал брать любое (нечетное простое) $x$, а не обязательно полученное методом шинкования первых $n$ простых, возможно, такие встретятся раньше, чем найденные Вами?

[waxtep]

waxtep в сообщении #1624587 писал(а):

А что касается обобщений, я бы попробовал брать любое (нечетное простое) $x$, а не обязательно полученное методом шинкования первых $n$ простых, возможно, такие встретятся раньше, чем найденные Вами?

Впрочем, это как-то усложняет задачу: представьте, что где-то там далеко справа, почти у самого конца натурального ряда, есть такие $18$ идущих подряд простых, что попарные разности между соседями обеспечивают минимальность самой первой десятки простых $3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$. Да, это маловероятно, но поди ж докажи, что невозможно. Специальным образом сконструированное начальное значение $x$ от этой проблемы избавляет. Наверное, это была тупая попытка обобщения

[gris]

waxtep, спасибо за проявленный интерес и конструктивные предложения.
В рамках первоначальной задачи идёт непрерывный поиск цепочек длиной не меньше восьми, и проводятся теоретические исследования.
Мне пока известно про нахождение семидесяти трёх восьмёрок и четырёх девяток (приводятся начальные элементы):
8: 4 432391 минимальная
9: 21 321 284 573 минимальная
9: 48 835 901 333
9: 83 324 454 779
9: 121 107 660 659

[waxtep]

Насчет теории, кстати, подумал, вряд ли тут что-то известно со времён очаковских и покоренья Крыма. Тут ведь даже неочевидно, что обязательно найдется такая подпоследовательность любой конечной длины. Про арифметические прогрессии - известно, да, про обобщение на полиномы одной переменной тоже (теорема Грина-Тао и ее обобщение), но у Вас сложнее, в плане, Вы ищете в (мне кажется) существенно менее плотном множестве и ищете другую структуру

-- 02.01.2024, 01:13 --

Хотя, черт его знает, это очень близко, ведь можно же записать асимптотически $p_{k+1}-p_k\sim{\ln{k}}$, и значит Вы ищете что-то очень похожее на арифметическую прогрессию

[gris]

waxtep, Ваш прозрачный намёк абсолютно справедлив! Арифметические прогрессии являются самопорождающимися до бесконечности, и у каждого из нас в живом уголке есть примеры АП-кортежей из ППЧ:
251 257 263 269
9843019 9843049 9843079 9843109 9843139
Они известны давно и показаны в специализированных хранилищах. Правда, пока не найдена десятка $\in$ АПППЧ, да и девятка слишком большая.
Приведённый же алгоритм формирования порождённого кортежа является ослаблением. С необходимым, но недостаточным условием. Его элементы не обязательно образуют АП. Поэтому и сами кортежи попроще. Но пока вот десяточка не открыла своё личико