AA_2 и KC перпендикулярны

[qwert129]

Решал эту задачу, не решил. Нашел только векторное решение, хотелось бы посмотреть на другие школьные решения без векторов.
Задача:

В треугольнике $ABC$, отрезок $AA_1-$ медиана, $AA_2-$ биссектриса. $K-$ такая точка на $AA_1$, что $KA_2//AC$. Докажите, что $AA_2$ и $KC$ - перпендикулярны.

[svv]

qwert129 в сообщении #1623271 писал(а):

$KA_2//AC$

Это что значит, «наклонно параллельны»?
viewtopic.php?p=1115#p1115

[BVR]

Если продолжить $CK$ до пересечения с $AB$ в точке $E$. То удалось доказать, что треугольник $CAE$ - равнобедренный. Значит, биссектриса является высотой.

-- Пт дек 22, 2023 21:51:01 --

Там ещё надо продолжить $A_2K$ до пересечения с $AB$ в точке $P$. Тогда треугольник $KPE$ подобен треугольнику $CAE$. Если обозначить $AC=b$ и $AB=c$.

-- Пт дек 22, 2023 21:55:59 --

А потом, с помощью "танцев с бубном" , выразить $PK$ и $PE$, то они оказываются равными $\frac{b^2}{ b+c}$

-- Пт дек 22, 2023 22:01:42 --

надо ли подробности? Но мне кажется, что задачу можно было решить проще. Подумаю. Симпатичная задачка!

[lel0lel]

Достроить треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, тогда $AA_2, CK$ это биссектрисы двух углов параллелограмма.

[BVR]

Что $CK$ биссектриса - доказать тоже не очень просто

[lel0lel]

Там же сразу второй равнобедренный треугольник вырисовывается. Доказательство его равнобедренности устное. Нужно показать, что если в параллелограмме проведены две диагонали, и проведён отрезок параллельно стороне, рассекающий параллелограмм на два, то этот отрезок разделяется диагоналями, в общем случае, на три ненакладывающихся друг на друга отрезка, причём длины крайних отрезков равны, так как равны площади крайних треугольников, у которых равны высоты. Площади крайних треугольников равны по причине, что они подобны половинкам параллелограмма с одним и тем же коэффициентом подобия.

В общем, слов много, но на деле там сразу всё видно, если построить чертёж. По крайней мере, вычислять ничего не приходится.

[TOTAL]

lel0lel в сообщении #1623478 писал(а):

Достроить треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, тогда $AA_2, CK$ это биссектрисы двух углов параллелограмма.

$BA_2/A_2C=AB/AC$ - т.к. $AA_2$ биссектриса
$BA_2/A_2C=DK/KA$ - из-за параллельности $A_2K$
$CK$ биссектриса, т.к. $DK/KA =DC/AC$