Трансцендентное уравнение

[reterty]

Имею простое трансцендентное уравнение $x\tg(x)=a$, $x, a>0$, имеющее пр фиксированном $a$ бесконечное множество решений. Мне бы автоматизировать процесс нахождения $n$-го корня этого уравнения с помощью Maplesoft, да что-то не выходит. Может кто подскажет, буду признателен. Интересна также приближенная формула для нахождения корней с большими номерами.

[Combat Zone]

Читайте Сидоров, Федорюк, Шабунин, Лекции по ТФКП. Глава 7, параграф 41. Среди примеров есть похожий, посмотрите, удастся ли заточить под ваши нужды.

[pppppppo_98]

мда... это по моему пример для 9 класса физикоматематическй школы? не.

$\tg{x}=\frac{a}{x}$. Итак имеем пересечение тангенса и гиперболы... Тангенс переиодический , гипербола стремится к . Значит пересечение оных где-то в районе корней тангенса $x=\pi n$. Ну а дальше численные методы на лютой вкус и кошелек. Можете методом Ньютона решать, а можете путем сжимающих отображений (по алгоритму $x_0 = \pi n;\, x_{i+1}= \pi n + \arctg{\frac{a}{x_i}}$)

[thething]

Понятно, что $x(n)=\pi n+\arctg\dfrac{a}{x(n)}\sim\pi n.$ Далее используется разложение арктангенса по формуле Тейлора $\arctg\dfrac{a}{x(n)}=O\left(\dfrac{1}{x(n)}\right)$, чтобы получить уточнение $x(n)=\pi n+O\left(\dfrac{1}{n}\right)$. Ещё одно уточнение: $\arctg\dfrac{a}{x(n)}=\dfrac{a}{x(n)}+O\left(\dfrac{1}{x^3(n)}\right)$ даёт

$$x(n)=\pi n+\dfrac{a}{x(n)}+O\left(\dfrac{1}{n^3}\right)=\pi n+\dfrac{a}{\pi n+O\left(\dfrac{1}{n}\right)}+O\left(\dfrac{1}{n^3}\right)=\pi n+\dfrac{a}{\pi n}+O\left(\dfrac{1}{n^3}\right).$$

И так далее.

[EXE]

reterty в сообщении #1622711 писал(а):

с помощью Maplesoft, да что-то не выходит. Может кто подскажет, буду признателен. Интересна также приближенная формула для нахождения корней с большими номерами.

RootFinding:-NextZero

Это очень мощная процедура у Maple для решения одномерных уравнений.
Например, её можно поставить в цикл от какого-то решения, и она будет выдавать последовательно остальные.
Самые лучшие примеры её применения можно найти на форуме MaplePrimes разработчика пакета по тамошнему поиску.

[Евгений Машеров]

Представить $x=\varphi+2\pi n$ и решать уравнение относительно фи для разных n.

[ihq.pl]

Ну да, посчитал заранее значения $\tg x$ на сетке $-\pi/2 + k\pi/n, k=1,...,n-1$ и смотришь на каком интервале меняется знак $(x+\pi n)\tg x-a$. Поскольку опасности накопления ошибок нет, $n$ можно брать сколь угодно большим. И линейной интерполяции для нахождения корня вполне должно хватить.

[reterty]

Спасибо всем ответившим! Очень пригодилось и все срослось!