Простенький ряд

[worm2]

Задача, предположительно, для 2-3 курса.
Но, возможно, покажется любопытной кому-то более искушённому.
Найти сумму ряда:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(2n)!}$$

[ozheredov]

worm2
Если заменить $x$ на $x^2$, то Ваш ряд это сумма четных членов разложения экспоненты в степенной ряд. Было бы чередование знаков - была бы действительная часть комплексной экспоненты, то бuш косинус, а так непонятно. Или это вообще тупиковый путь мышления? )

[worm2]

ozheredov
Нет, это не тупиковый путь. Всё правильно. Подвох чуть дальше.

[mihaild]

$f(x) = \cos\sqrt{-x}$, $\sqrt{1} = -1$?

[mihiv]

$\dfrac {\exp (\sqrt x)+\exp (-\sqrt x)}2 ?$

[worm2]

mihaild
mihiv
Конечно. Для $x<0$ — одна формула, для $x>0$ — другая.
Одна и та же целая функция на комплексной плоскости, но записывается разными элементарными выражениями на положительной и отрицательной вещественных полуосях. Что мне показалось весьма любопытным.
Я понадеялся, что люди пойдут к Вольфраму, а он только для $x>0$ показывает решение. И тут бы я так вкрадчиво: "А у этого вашего Вольфрама нельзя поинтересоваться, что будет для отрицательных, ведь, кажется, тоже должно сходиться?".
Эх, не судьба

[mihiv]

Может быть так:$\dfrac {\exp (\sqrt {|x|})+\exp (-\sqrt {|x|)}}2 ?$

-- Пт дек 15, 2023 21:00:03 --

mihiv в сообщении #1622488 писал(а):

Может быть так:$\dfrac {\exp (\sqrt {|x|})+\exp (-\sqrt {|x|)}}2 ?$

А нет , это не годится.

[Утундрий]

Функция Эйри для бедных?

[worm2]

Утундрий, похоже
Функция Эйри удовлетворяет дифуру второго порядка, а эта — первого, правда, нелинейного:
$y^2+4xy'^2=1$, $y(0)=1$.

[mihiv]

Если считать, что на отрицательной полуоси переменная $x=|x|\exp (i\pi )$,а на положительной- $x=|x|$, то функция описывается единой формулой:$f(x)=\dfrac {\exp (\sqrt x)+\exp (-\sqrt x)}2 $

[revos]

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} \ch(\sqrt{x}), x\geqslant0, \\ \ cos(\sqrt{-x}), x\leqslant0 .\\ \end{array} \right.$$