точно НЕ связано с какой-либо задачей-монстром

[KhAl]

Пусть $U$ — единичный круг в $\mathbb{R}^2$, $M \subset U$ — множество меры ноль. Всегда ли найдётся измеримая функция $f{:}\; U \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ такая, что

$$\int_U f(x)dx < +\infty$$ $$\int_U \frac{f(x)}{\|x-b\|}dx = +\infty\; \text{при всех }b \in M \text{?}$$

[Padawan]

Я так понимаю, что по условию плоская мера Лебега множества $M$ равна нулю.
Пусть на множестве $M$ определена некоторая мера $\mu$. Тогда

$$ I=\int\limits_Md\mu(b)\int\limits_U\frac{f(x)}{|x-b|}dx=\int\limits_U f(x)dx\int\limits_M\frac{d\mu(b)}{|x-b|} $$

Если мы сможем найти такую меру $\mu$, что $\int\limits_M\frac{d\mu(b)}{|x-b|}\leqslant C<+\infty$ для всех $x\in U$, то получим $I\leqslant C\int\limits_U f(x)dx<+\infty$. Тогда $\int\limits_U\frac{f(x)}{|x-b|}dx<+\infty$ $\mu$-почти всюду.
Я думаю, что условие $\int\limits_M\frac{d\mu(b)}{|x-b|}\leqslant C<+\infty$ для всех $x\in U$ может выполняться для множеств, хаусдорфова размерность которых $\alpha>1$, например, $\alpha=1.5$, а $\mu$ -- мера Хаусдорфа соответствующей размерности.

[KhAl]

Padawan в сообщении #1622444 писал(а):

хаусдорфова размерность

так и знал, что она здесь будет!

Спасибо.

-- 15.12.2023, 14:00 --

Padawan, а для множеств размерности $1$ такая $f$ всегда есть?

Для множеств конечной длины (одномерной меры Хаусдорфа) наверняка есть, а представляется ли любое множество размерности $1$ как счётное объединение множеств конечной длины? upd. наверное, нет.