Показать сходимость ряда

[dragonfly132]

Последовательность (an) ограничена и монотонно возрастает, (an) >0, n $\in$ $\mathbb{N}$. Докажите, что ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right)$$

сходится.
Ps. Перепробывал все критерии сходимости рядов, которые знаю. Очень надеюсь на вашу помощь.

[Mihr]

1. Теорема Больцано – Вейерштрасса
2. Выбираем достаточно узкий интервал, содержащий предел этой последовательности. Например, радиуса $\dfrac{a}{3}$, где $a$ - предел последовательности. Начиная с некоторого номера все элементы последовательности попадают в этот интервал.
3. Исходя из этого факта, оцениваем отношение $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$, а затем разность $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-1$
4. Используем признак сравнения (сравниваем с подходящей геометрической прогрессией).

[dragonfly132]

Mihr
Насколько я понимаю после оценивания отношения в пункте 3. мы получаем интервал (-1/2;1/2).
Но для любой конвегентной геометрической прогрессии bn верно, что

$$\lim\limits_{b\to\infty}^{}bn=0$$

Не совсем понимаю, как $\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 < bn $ $\forall n>N$

[waxtep]

Интересно, нельзя ли в данном случае обойтись совсем простым рассуждением, что

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}-1<\frac{a_{n+1}-{a_n}}{a_1}$$

и значит вся сумма не превышает $\dfrac{\sup{a_n}}{a_1}-1$, или это недостаточно строго и чревато ошибкой в каком-либо более сложном случае?

[svv]

(dragonfly13)

dragonfly132 в сообщении #1621279 писал(а):

Последовательность (an) ограничена и монотонно возрастает, (an) >0, n $\in$ $\mathbb{N}$.

Последовательность $(a_n)$ ограничена и монотонно возрастает, $a_n >0, n \in \mathbb{N}$.

dragonfly132 в сообщении #1621292 писал(а):

Насколько я понимаю после оценивания отношения в пункте 3. мы получаем интервал (-1/2;1/2).
Но для любой конвегентной геометрической прогрессии bn верно, что

Насколько я понимаю, после оценивания отношения в пункте 3 мы получаем интервал $(-1/2;1/2)$.
Но для любой конвергентной геометрической прогрессии $(b_n)$ верно, что

Договорились?

[Mihr]

dragonfly132, извините, чепуху написал. Почему-то мне показалось, что там $n$-я степень (пора спать, видно). Проигнорируйте мой пост. Извините ещё раз.

[thething]

Можно заметить, что сходимость ряда эквивалентна сходимости ряда $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\ln\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ и учесть, что $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^k\ln\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\ln a_{k+1}-\ln a_1$.

[мат-ламер]

Исходный ряд мажорируется рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_1}$ .

P.S. Заметил что waxtep написал то же самое, но с вопросом. На его вопрос отвечаю - да (можно обойтись).

[dragonfly132]

waxtep
мат-ламер
Спасибо! Использовал мажорантный критерий, нашел предел ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_1}$ с помощью телескопического ряда, и все получилось.

[gefest_md]

Верно ли, что $a_{n+2}-a_{n+1}\leqslant a_{n+1}-a_n,$ начиная с некоторого $n?$ Пытаюсь применить к ряду признак Дирихле.

С другой стороны признак Абеля вроде применим. А этот последний вытекает из признака Дирихле (википедия).

[mihaild]

gefest_md в сообщении #1623025 писал(а):

Верно ли, что $a_{n+2}-a_{n+1}\leqslant a_{n+1}-a_n,$ начиная с некоторого $n?$

Нет конечно.
Можно написать $a_{n + 1} = a_n + x_n$, где $x_n$ - произвольная неотрицательная последовательность, такая что $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$ сходится. Такая последовательность совсем не обязана быть финально монотонной.