Двумерные многообразия

[Bober2]

Добрый день, уважаемые пользователи форума! Недавно я задался следующим вопросом: правда ли, что если первая группа когомологий де Рама тривиальна у двумерного гладкого многообразия, то это либо $\mathbb{R}^2$, либо $\mathbb{S}^1$? Для двумерных CW-комплексов это, очевидно не верно. Потому что можно привести такой клеточный комплекс у которого фундаментальная группа равна её же коммутанту. Поэтому тут нужно как-то пользоваться спецификой гладкого многообразия. Так же, если предположить, что многообразие компактно, то можно воспользоваться классификаций компактных двумерных поверхностей. Но как делать в общем случае я не знаю.

[Leeb]

Bober2

Компактные двумерные поверхности без края это связные суммы торов или проективных плоскостей, либо если с краем, то гомотопически эквивалентны букету окружностей (возможно, с нулем окружностей в букете если это диск). Открытые двумерные многообразия также гомотопически являются букетами окружностей. Отсюда сразу следует ответ на ваш вопрос (только не $S^1$, а $S^2$).

Для комплексов можно и пример попроще - букет двух сфер является двумерным комплексом, который не гомотопически эквивалентен S^2 и имеет тривиальную фундаментальную группу (и ещё много других примеров). Но когомологии де рама для комплексов определены только для многообразий (причём если оно открыто, то нужны когомологии с компактным носителем, а не обычные) поэтому вопрос для произвольных клеточных пространств непонятен.

[Bober2]

Leeb в сообщении #1620426 писал(а):

Bober2

Компактные двумерные поверхности без края это связные суммы торов или проективных плоскостей, либо если с краем, то гомотопически эквивалентны букету окружностей (возможно, с нулем окружностей в букете если это диск). Открытые двумерные многообразия также гомотопически являются букетами окружностей. Отсюда сразу следует ответ на ваш вопрос (только не $S^1$, а $S^2$).

Для комплексов можно и пример попроще - букет двух сфер является двумерным комплексом, который не гомотопически эквивалентен S^2 и имеет тривиальную фундаментальную группу (и ещё много других примеров). Но когомологии де рама для комплексов определены только для многообразий (причём если оно открыто, то нужны когомологии с компактным носителем, а не обычные) поэтому вопрос для произвольных клеточных пространств непонятен.

Про компактные двумерные поверхности понятно. С ними всё просто, так как есть их классификация. А если условие компактности убрать, то задача становится сложнее, и именно она меня и интересует. На счет CW-комплексов я имел ввиду следующее: Если у двумерных клеточных комплексов тривиальна первая группа гомологий, то правда ли их фундаментальная группа тривиальна? (Я знаю, что когомологии де Рама определятся только для гладких многообразий, поэтому видоизменяю вопрос, чтобы он был корректен для клеточных комплексов. А про фундаментальную группу я пишу потому что если получится доказать её тривиальность, то получится решить задачу в положительном ключе). Ответ на этот вопрос отрицательный. Поэтому в задаче нужно как-то использовать специфику многообразий. Вот, что я имел ввиду.

[Leeb]

Bober2 в сообщении #1620534 писал(а):

Leeb в сообщении #1620426 писал(а):

Bober2

Компактные двумерные поверхности без края это связные суммы торов или проективных плоскостей, либо если с краем, то гомотопически эквивалентны букету окружностей (возможно, с нулем окружностей в букете если это диск). Открытые двумерные многообразия также гомотопически являются букетами окружностей. Отсюда сразу следует ответ на ваш вопрос (только не $S^1$, а $S^2$).

Для комплексов можно и пример попроще - букет двух сфер является двумерным комплексом, который не гомотопически эквивалентен S^2 и имеет тривиальную фундаментальную группу (и ещё много других примеров). Но когомологии де рама для комплексов определены только для многообразий (причём если оно открыто, то нужны когомологии с компактным носителем, а не обычные) поэтому вопрос для произвольных клеточных пространств непонятен.

Про компактные двумерные поверхности понятно. С ними всё просто, так как есть их классификация. А если условие компактности убрать, то задача становится сложнее, и именно она меня и интересует. На счет CW-комплексов я имел ввиду следующее: Если у двумерных клеточных комплексов тривиальна первая группа гомологий, то правда ли их фундаментальная группа тривиальна? (Я знаю, что когомологии де Рама определятся только для гладких многообразий, поэтому видоизменяю вопрос, чтобы он был корректен для клеточных комплексов. А про фундаментальную группу я пишу потому что если получится доказать её тривиальность, то получится решить задачу в положительном ключе). Ответ на этот вопрос отрицательный. Поэтому в задаче нужно как-то использовать специфику многообразий. Вот, что я имел ввиду.

Так я и написал, что всеоткрытые двумерные многообразия тоже гомотопически эквивалентны букету окружностей. Как минимум, можете быть уверены, что на ваш вопрос ответ существует и положителен - т.е. в двумерном случае если у многообразия, неважно, открытого, компактного с краем или без края, первая группа гомологий тривиальна, то и фундаментальная тривиальна, т.к. в случае компактных есть теорема классификации, а в случае открытых - утверждение о гомотопической эквивалентности открытого многообразия букету окружностей (одномерному клеточному комплексу).
Пример с просто двумерными комплексами конечно известен, т.к. для любой счетнопорожденной группы $G$ строится двумерный комплекс $X$ с $\pi_1(X)=G$, и можно взять в качестве $G = A_5$.

[Bober2]

Leeb в сообщении #1620540 писал(а):

Bober2 в сообщении #1620534 писал(а):

Leeb в сообщении #1620426 писал(а):

Bober2

Компактные двумерные поверхности без края это связные суммы торов или проективных плоскостей, либо если с краем, то гомотопически эквивалентны букету окружностей (возможно, с нулем окружностей в букете если это диск). Открытые двумерные многообразия также гомотопически являются букетами окружностей. Отсюда сразу следует ответ на ваш вопрос (только не $S^1$, а $S^2$).

Для комплексов можно и пример попроще - букет двух сфер является двумерным комплексом, который не гомотопически эквивалентен S^2 и имеет тривиальную фундаментальную группу (и ещё много других примеров). Но когомологии де рама для комплексов определены только для многообразий (причём если оно открыто, то нужны когомологии с компактным носителем, а не обычные) поэтому вопрос для произвольных клеточных пространств непонятен.

Про компактные двумерные поверхности понятно. С ними всё просто, так как есть их классификация. А если условие компактности убрать, то задача становится сложнее, и именно она меня и интересует. На счет CW-комплексов я имел ввиду следующее: Если у двумерных клеточных комплексов тривиальна первая группа гомологий, то правда ли их фундаментальная группа тривиальна? (Я знаю, что когомологии де Рама определятся только для гладких многообразий, поэтому видоизменяю вопрос, чтобы он был корректен для клеточных комплексов. А про фундаментальную группу я пишу потому что если получится доказать её тривиальность, то получится решить задачу в положительном ключе). Ответ на этот вопрос отрицательный. Поэтому в задаче нужно как-то использовать специфику многообразий. Вот, что я имел ввиду.

Так я и написал, что всеоткрытые двумерные многообразия тоже гомотопически эквивалентны букету окружностей. Как минимум, можете быть уверены, что на ваш вопрос ответ существует и положителен - т.е. в двумерном случае если у многообразия, неважно, открытого, компактного с краем или без края, первая группа гомологий тривиальна, то и фундаментальная тривиальна, т.к. в случае компактных есть теорема классификации, а в случае открытых - утверждение о гомотопической эквивалентности открытого многообразия букету окружностей (одноимённому клеточному комплексу).
Пример с просто двумерными комплексами конечно известен, т.к. для любой счетнопорожденной группы $G$ строится двумерный комплекс $X$ с $\pi_1(X)=G$, и можно взять в качестве $G = A_5$.

Понятно, спасибо!