Неклассические задачи с усреднением по времени

[lovgager]

Здравствуйте! Мне нужен совет от опытных физиков. Я сам чистый математик. В моей научной работе рассматриваются задачи для одного класса линейных эволюционных уравнений первого порядка по времени. Для простоты я возьму одномерное уравнение теплопроводности

$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}(x,t), \quad 0 < x < 1, \quad 0 < t < T$$

с граничными условиями

$$u(0,t) = u(1,t) = 0.$$

Но вместо классического начального условия $u(x,0)=\varphi(x)$ известен интеграл по времени:

$$\int\limits_0^T \eta(t)u(x,t)dt = \psi(x),$$

где $\eta(t), \psi(x)$ — заданные функции. Например, $\eta(t) = 1/T$, тогда этот интеграл — это среднее значение по времени в классическом смысле. Требуется найти $u(x,t)$, в частности $u(x,0)$. То есть нужно подобрать начальное распределение температуры $u(x,0)$ так, чтобы её среднее значение по времени с заданным весом $\eta(t)$ равнялось заданному распределению $\psi(x)$. У меня такой вопрос: может ли подобная задача найти практическое применение? Не обязательно для теплопроводности. Например, для уравнения переноса нейтронов? Или для какого-то ещё. В идеале хотелось бы найти соответствующие публикации, в которых ставятся подобные задачи с усреднениями по времени. Спасибо за ответы!

[Утундрий]

Не вижу единственности.

[lovgager]

Единственность доказана при определённых условиях на функции $\eta(t), \psi(x)$. Например, достаточно, чтобы $\psi$ была дважды непрерывно дифференцируема, а $\eta$ имела ограниченную вариацию. Но это всё тонкости, а я спрашиваю про применения подобных задач вообще.