из мусорки

KhAl · 13/01/23 307

Рассмотрим последовательность множеств в $\mathbb{R}$
$A_n = [n \sqrt{2} - \frac1n; n \sqrt{2} + \frac1n] + \mathbb{Z}$
(сумма множеств — по Минковскому).

Для наугад выбранного $\alpha \in [0;1]$ какова вероятность события $\forall N \in \mathbb{N}{:}\; \exists n > N{:}\; \alpha \in A_n$ ? Иначе говоря, какова мера Лебега множества $[0;1] \cap \left(\bigcap_{N \in \mathbb{N}} \bigcup_{n > N} A_n\right)$ ?

Doctor Boom · 22/07/22 ∞ 897

Единица?

KhAl · 13/01/23 307

Doctor Boom, конечно. А если $\frac1n$ заменить на $\frac{1}{n \ln(n)}$ ?

Doctor Boom · 22/07/22 ∞ 897

Тоже

KhAl · 13/01/23 307

Doctor Boom, не верю. А как докажете?

Doctor Boom · 22/07/22 ∞ 897

KhAl
Да ладно :-)

Идея такая - $\sum_{n} \frac{1}{n\ln(n)}$ расходится, а $[\sqrt{2}n]$ равномерно распределена на $[0,1]$

KhAl · 13/01/23 307

Doctor Boom, эти два факта мне известны. доказательство будет?

Doctor Boom · 22/07/22 ∞ 897

KhAl
Пусть есть большое $N$ , докажем, что наугад выбранная точка попадет в $A_{N_1>N}$ . Пусть мы выбрали точку, тогда посчитаем вероятность того, что нужное накрытие ее не настигнет. Накрытия можно считать независимыми равномерно распределенными случайными величинами. Тогда вероятность равна $(1-\frac{1}{N\ln(N)})(1-\frac{1}{(N+1)\ln(N+1)})...=e^{-\int_N^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)} dx}=0$ , а значит вероятность попадания равна единице