2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пример на первый замечательный предел.
Сообщение13.11.2023, 10:16 
Доброго времени суток.
$\displaystyle{\lim_{x \to 1}}\frac{1+\cos(\pi \cdot {x})}{\tg^2({\pi\cdot{x}})}$
Я потратил некоторое время на решение, но никак не могу привести к ответу.
первый вопрос, стоит ли сразу переходить к новой переменной? $t=\pi\cdot{x}$
получится
$\displaystyle{\lim_{x \to \pi}}\frac{1+\cos(t)}{\tg^2({t})}$
Дальше было много попыток, но не получается.
Например.
$\displaystyle{\lim_{x \to \pi}}\frac{2\cos^2(t/2)}{\tg^2({t})}$
Использовал первый замечательный предел, но с тангенсом.
$\displaystyle{\lim_{x \to \pi}}\frac{2t^2\cos^2(t/2)}{t^2\tg^2({t})}$

$\displaystyle{\lim_{x \to \pi}}\frac{2\cos^2(t/2)}{t^2}$
Определенности нет, но ответ неправильный.
Использовал тангенс, так как он при $\pi$ стремится к нулю.
Подскажите, я запутался.

 
 
 
 Re: Пример на первый замечательный предел.
Сообщение13.11.2023, 11:28 
Попробуйте $x=1+t.$

 
 
 
 Re: Пример на первый замечательный предел.
Сообщение16.11.2023, 09:53 
$\lim\limits_{x \to 1}^{}\frac{1+\cos(\pi \cdot {x})}{\tg^2 (\pi \cdot {x})}=\lim\limits_{x \to 1}^{}\frac{2\cos^2 (\pi \cdot {x}/2)}{\sin^2 (\pi \cdot {x})}=\lim\limits_{x \to 1}^{}\frac{2\cos^2 (\pi \cdot {x}/2)}{(2 \cdot \sin (\pi \cdot {x}/2) \cdot \cos(\pi \cdot {x}/2))^2}$.

Если еще актуально.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group