У интеграла слишком сложное решение

[WinterPrimat]

$\int{\left(x+2\right)\sqrt{x^2+6x+8}dx}$
Долго писать все решение. По пунктам:
1. Интегрирую по частям:
$\begin{bmatrix} u=\sqrt{x^2+6x+8} & dv=\left(x+2\right)dx \\ du=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+8}}dx & v=\dfrac{x^2}{2}+2x \\ \end{bmatrix}$
В ответе получаю выражение плюс интеграл вида $\int{\dfrac{P_n\left(x\right)dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}$
2. Предполагая, что
$\int{\dfrac{P_n\left(x\right)dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}=Q_{n-1}\left(x\right)\cdot\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\cdot\int{\dfrac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}$,
подбираю коэффициенты для $Q_{n-1}\left(x\right)$ и нахожу $\lambda$.
3. $\int{\dfrac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}$ нахожу как табличный, выделив полный квадрат.
Ну, и ответ получается
$\dfrac{1}{6}\left(2x^2+9x+7\right)\sqrt{x^2+6x+8}+\dfrac{1}{2}\ln\left|x+3+\sqrt{x^2+6x+8}\right|+C$
Линк на решение: https://prnt.sc/vZIKzGMbkphO
Как видите, решение довольно громоздко, и оно не соответствует сложности сборника. Возможно, есть более простой путь?
Спасибо

[Null]

Я бы взял $x+3=\ch t$

[iifat]

WinterPrimat в сообщении #1617242 писал(а):

Возможно, есть более простой путь?

Возможно, но вы уже прошли этим до конца. Так ли вам нужен ещё один? Решение-то будет тем же самым.

WinterPrimat в сообщении #1617242 писал(а):

решение довольно громоздко, и оно не соответствует сложности сборника

Проверять не пробовали? Либо оно правильное, либо нет же ж.

-- 11.11.2023, 01:21 --

WinterPrimat в сообщении #1617242 писал(а):

$\dfrac{1}{6}\left(2x^2+9x+7\right)\sqrt{x^2+6x+8}+\dfrac{1}{2}\ln\left|x+3+\sqrt{x^2+6x+8}\right|+C$

Как-то сомнительно мне это, кстати говоря. Производная от логарифма даст $\dfrac{1+\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+6x+8}}}{x+3+\sqrt{x^2+6x+8}}$. Вы уверены, что $x+3$ в знаменателе куда-то уйдёт?

[WinterPrimat]

iifat
Все правильно. Проверил. Еще раз)

-- 10.11.2023, 19:14 --

iifat в сообщении #1617277 писал(а):

Так ли вам нужен ещё один?

Так я же не для кого-то решаю, а сам для себя)

[amon]

WinterPrimat в сообщении #1617242 писал(а):

Как видите, решение довольно громоздко, и оно не соответствует сложности сборника.

IMHO, простое наблюдение
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
существенно упрощает дело.

[svv]

Я бы сначала взял $x+3=y$, получится
$\int y\sqrt{y^2-1}dy - \int \sqrt{y^2-1}dy$
В первом интеграле никакие явные подстановки не нужны, он берётся "подведением под дифференциал".

[WinterPrimat]

svv
Спасибо! Похоже, как раз то, что я искал!