Математическое ожидание максимума двух случайных величин

[Sdy]

Условие задачи.
Пусть $X_1,X_2, Y_1, Y_2$ это независимые экспоненциально распределённые случайные величины с соответствующими параметрами $\lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2$. Необходимо найти $\mathbb{E}[\operatorname{max}\{X_1+Y_1, X_2+Y_2\}]$.

Моё решение.
Я решал задачу максимально прямолинейно. Для начала искал функцию распределения суммы двух независимых экспоненциальных случайных величин с разными параметрами. Если обозначить $X = X_1+Y_1$ и $Y = X_2+Y_2$, то получилось, что

$$\forall x \geq 0, ~ F_X(x) = 1-\dfrac{\lambda_1\cdot e^{-\mu_1 x}-\mu_1\cdot e^{-\lambda_1 x}}{\lambda_1-\mu_1}$$

$$\forall y \geq 0, F_Y(y) = 1-\dfrac{\lambda_2\cdot e^{-\mu_2 y}-\mu_2\cdot e^{-\lambda_2 y}}{\lambda_2-\mu_2}$$

Если верить Википедии, то сумма двух экспоненциально распределённых случайных величин в общем случае следует hypoexponential распределению (я не знаю, как на русском языке его назвать) и функцию распределения я получил верную. Тогда если обозначить $M = \operatorname{max}\{X,Y\}$, далее я ищу функцию распределения $M$, довольно таки стандартным образом. Я говорю, что так как $X_1,X_2, Y_1, Y_2$ это независимые случайные величины, то $X_1 + Y_1$ и $X_2 + Y_2$ это тоже независимые случайные величины и поэтому $\forall t \geq 0 ~ F_M(t) = F_X(t) \cdot F_Y(t)$.
Экспоненциально распределённые случайные величины почти наверное неотрицательны, значит их сумма почти наверное неотрицательна, значит максимум $M$ из двух таких сумм также почти наверное неотрицателен, поэтому можно искать математическое ожидание $M$ следующим образом :

$$\mathbb{E}[M] = \int\limits_{0}^{+\infty}(1 - F_M(t))dt = \int\limits_{0}^{+\infty}(1 - F_X(t) \cdot F_Y(t))dt=$$

$$= \int\limits_{0}^{+\infty} 1-\left(1-\dfrac{\lambda_1\cdot e^{-\mu_1 t}-\mu_1\cdot e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_1-\mu_1}\right)\left(1-\dfrac{\lambda_2\cdot e^{-\mu_2 t}-\mu_2\cdot e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_2-\mu_2}\right)dt$$

Я руками посчитал этот интеграл, используя несколько раз тот факт, что при $\lambda > 0,$ $\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\lambda t}dt = \dfrac{1}{\lambda}$.

Получил, что

$$\mathbb{E}[M] = \dfrac{\lambda_2+\mu_2}{\lambda_2 \mu_2}+\dfrac{\lambda_1+\mu_1}{\lambda_1 \mu_1} + \dfrac{\lambda_1\mu_2\mu_1-\lambda_1\lambda_2\mu_1}{(\lambda_1-\mu_1)(\lambda_2 -\mu_2)(\mu_1+\lambda_2)(\mu_1+\mu_2)}-\dfrac{\lambda_1(\mu_2+\lambda_2)}{(\lambda_1-\mu_1)(\mu_1+\lambda_2)(\mu_1+\mu_2)}+$$

$$+\dfrac{\mu_1\lambda_2\lambda_1-\mu_1\mu_2\lambda_1}{(\lambda_1-\mu_1)(\lambda_2-\mu_2)(\lambda_1+\mu_2)(\mu_1+\lambda_2)}+\dfrac{\mu_1(\lambda_2+\mu_2)}{(\lambda_1-\mu_1)(\lambda_1+\mu_2)(\mu_1+\lambda_2)}$$

Вопросы.

Есть ли у меня в решении какие-то ошибки, неверные логические переходы? У меня не получается упростить ответ дальше, а если я в сыром виде пытаюсь взять исходный интеграл в Wolfram Alpha, Sympy и Matlab, то ничего не получается. Изначально казалось, что в силу симметрии в выражениях ответ должен быть каким-то красивым, что говорит о том что должна быть где-то у меня ошибка, но я пока не вижу, где именно.

[Markiyan Hirnyk]

Это механизировано в Математике:

Mean[TransformedDistribution[
  Max[x1 + y1, 
   x2 + y2], {x1 \[Distributed] ExponentialDistribution[\[Lambda]1], 
   x2 \[Distributed] ExponentialDistribution[\[Lambda]2], 
   y1 \[Distributed] ExponentialDistribution[\[Mu]1], 
   y2 \[Distributed] ExponentialDistribution[\[Mu]2]}]]

выдает

(\[Lambda]2^2 \[Mu]1 (\[Lambda]2 + \[Mu]1) \[Mu]2^2 (\[Mu]1 + \[Mu]2) \
+ \[Lambda]1 \[Lambda]2 (\[Lambda]2 + \[Mu]1) \[Mu]2 (\[Mu]1 + \
\[Mu]2) (\[Mu]1 \[Mu]2 + \[Lambda]2 (\[Mu]1 + \[Mu]2)) + \[Lambda]1^3 \
(\[Mu]1^2 \[Mu]2 (\[Mu]1 + \[Mu]2) + \[Lambda]2 \[Mu]1 (\[Mu]1 + \
\[Mu]2)^2 + \[Lambda]2^2 (\[Mu]1^2 + \[Mu]1 \[Mu]2 + \[Mu]2^2)) + \
\[Lambda]1^2 (\[Mu]1^2 \[Mu]2^2 (\[Mu]1 + \[Mu]2) + \[Lambda]2^2 (\
\[Mu]1 + \[Mu]2)^3 + \[Lambda]2^3 (\[Mu]1^2 + \[Mu]1 \[Mu]2 + \
\[Mu]2^2) + \[Lambda]2 \[Mu]1 \[Mu]2 (2 \[Mu]1^2 + 
         3 \[Mu]1 \[Mu]2 + \[Mu]2^2)))/(\[Lambda]1 \[Lambda]2 (\
\[Lambda]1 + \[Lambda]2) \[Mu]1 (\[Lambda]2 + \[Mu]1) \[Mu]2 (\
\[Lambda]1 + \[Mu]2) (\[Mu]1 + \[Mu]2)) 

$\frac{\text{$\lambda $1}^3 \left(\text{$\lambda $2}^2 \left(\text{$\mu $1}^2+\text{$\mu $1} \text{$\mu $2}+\text{$\mu $2}^2\right)+\text{$\lambda $2} \text{$\mu $1} (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2})^2+\text{$\mu $1}^2 \text{$\mu $2} (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2})\right)+\text{$\lambda $1}^2 \left(\text{$\lambda $2}^3 \left(\text{$\mu $1}^2+\text{$\mu $1} \text{$\mu $2}+\text{$\mu $2}^2\right)+\text{$\lambda $2}^2 (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2})^3+\text{$\lambda $2} \text{$\mu $1} \text{$\mu $2} \left(2 \text{$\mu $1}^2+3 \text{$\mu $1} \text{$\mu $2}+\text{$\mu $2}^2\right)+\text{$\mu $1}^2 \text{$\mu $2}^2 (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2})\right)+\text{$\lambda $1} \text{$\lambda $2} \text{$\mu $2} (\text{$\lambda $2}+\text{$\mu $1}) (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2}) (\text{$\lambda $2} (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2})+\text{$\mu $1} \text{$\mu $2})+\text{$\lambda $2}^2 \text{$\mu $1} \text{$\mu $2}^2 (\text{$\lambda $2}+\text{$\mu $1}) (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2})}{\text{$\lambda $1} \text{$\lambda $2} \text{$\mu $1} \text{$\mu $2} (\text{$\lambda $1}+\text{$\lambda $2}) (\text{$\lambda $1}+\text{$\mu $2}) (\text{$\lambda $2}+\text{$\mu $1}) (\text{$\mu $1}+\text{$\mu $2})}$
Ваши обозначения несколько изменены, т.к. в Математике неудобно работать с индексами.

[Sdy]

Markiyan Hirnyk, спасибо.
То есть действительно ответ и должен получаться некрасивый.