Задача про уменьшение веса тела

[razbor_poletov]

В известном учебнике Ландсберга в первом томе имеется следующая задача:

Цитата:

134.3. Покажите, что уменьшение веса тела, обусловленное вращением Земли, меняется, как квадрат косинуса широтного угла, а составляющая центробежной силы инерции, направленная к экватору, меняется, как синус двойного широтного угла.

Вот моя попытка решения: пользуясь формулой для центробежной силы инерции из этого же учебника, $F=m \omega^2 r$. Радиус окружности, по которой движется предмет на поверхности Земли, зависит от широтного угла и радиуса экватора: $r=R \cos \alpha$. То есть центробежная сила $F=m \omega^2 R \cos \alpha$. Всё, кроме широтного угла здесь постоянное, так что и центробежная сила меняется как косинус широтного угла. Но в задаче речь о квадрате косинуса широтного угла, а к тому же ещё и про составляющую центробежной силы инерции, направленную к экватору. Но разве центробежная сила инерции направлена не параллельно плоскости экватора?

[sergey zhukov]

razbor_poletov
Так нужно же найти проекцию центробежной силы на нормаль к поверхности Земли. Она же вес уменьшает.

Центробежную силу, как и любой вектор, можно разложить на сумму нескольких векторов (проекций или составляющих). Вот и найдите требуемые проекции. Под "направленая к экватору" имеется ввиду составляющая центробежной силы, перпендикулярная плоскости экватора.

[razbor_poletov]

sergey zhukov в сообщении #1616474 писал(а):

razbor_poletov
Так нужно же найти проекцию центробежной силы на нормаль к поверхности Земли. Она же вес уменьшает.

Спасибо, теперь всё очевидно. Удивляюсь, что не мог правильно понять задачу несколько дней.

[sergey zhukov]

Что-то я не так сказал. У центробежной силы нет, разумеется, составляющей, перпендикулярной плоскости экватора. "Направленная к экватору" - это касательная к поверхности Земли составляющая центробежной силы. Как-то странно ее тут обозвали.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1616474 писал(а):

Так нужно же найти проекцию центробежной силы на нормаль к поверхности Земли. Она же вес уменьшает.

Вес равен $\vec P=m \vec g$ и соответственно $P=m|\vec g|$, так что найти надо $|\vec g|$ (как модуль векторной суммы чисто гравитационного ускорения и центростремительного ускорения) а уж нормаль там выйдет или нет - неважно. Весы-то будут горизонтально расположены, т.е. чашка весов будет перпендикулярна местному $\vec g$, и не обязательно параллельна местной поверхности. Горизонталь так и делают - перпендикулярно отвесу.

В реальности, кстати, так и есть: местная поверхность примерно перпендикулярна местному ускорению свободного падения, из-за того что Земля не шар. На поверхности воды (т.е. на большей части поверхности Земли) так это практически повсеместно.

[sergey zhukov]

wrest
Если точно, то да: на твердом вращающемся шаре "эффективная" сила гравитации не перпендикулярна поверхности получается. Если его достаточно быстро раскрутить, то она заметно будет всех "клонить" к экватору на средних широтах.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1616533 писал(а):

Если его достаточно быстро раскрутить, то она заметно будет всех "клонить" к экватору на средних широтах.

Ну так да, и если вы станете взвешивать груз на школьном динамометре, подвес будет автоматически локально-вертикальным, из-за его гибкости.

[sergey zhukov]

Т.е. я не то сказал, что хотел. Поверхность вращающегося тела (если считать его жидким) всюду перпендикулярна сумме обоих ускорений, поэтому гравитационное ускорение само по себе как раз не перпендикулярно поверхности. Если мы связываем вес только с гравитационым ускорением (т.е. говорим о том, что "вращение Земли уменьшает вес") и хотим знать, какова проекция центробежного ускорения на гравитационное (т.е. " каково уменьшение веса, обусловленное вращением Земли"), то сначала нужно найти поверхностную гравитацию тела такой же формы, но не вращающегося. Это несложно, если мы уже знаем форму этого тела, когда оно вращается. А вот найти ее с нуля уже посложнее.

[razbor_poletov]

sergey zhukov в сообщении #1616497 писал(а):

У центробежной силы нет, разумеется, составляющей, перпендикулярной плоскости экватора.

Ну это смотря на какие составляющие раскладывать.

sergey zhukov в сообщении #1616497 писал(а):

"Направленная к экватору" - это касательная к поверхности Земли составляющая центробежной силы. Как-то странно ее тут обозвали.

Да, название самое странное. Осмысленнее "влияющая на ускорение в сторону центра Земли" и "не влияющая". Да и вообще задаче под весом понимается не то, что измеряется безменом, а то, что направлено в центр. Видимо, потому я и не мог её понять.