Динамика.Задача.

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Помогите разобраться. Задача:
Длинная доска массой $M=2 kg $ лежит горизонтальном столе. На доске находится брусок массой $m=1 kg$ . Коэффициент трения между бруском и доской $ \mu_1=0,4$, между доской и столом $ \mu_2=0,2$ . К бруску приложена внешняя сила $F=10 H$, параллельная доске. Найти ускорения бруска и доски.

Решение: Рассмотрим движение бруска и доски в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.



Пишем уравнения 2-го Ньютона и раскладывем на проекции:

$\left\{ \begin{array}{rcl} m\vec{a}_1=\vec{F}+\vec{F}_{1fr}+\vec{N}_1+\vec{m}g \\ M\vec{a}_2=\vec{F}_{2fr}+\vec{F}_{3fr}+ \vec{P} + M\vec{g} + \vec{N}_2 \\ \vec{P} = - \vec{N}_1\\ \vec{F}_{1fr}=-\vec{F}_{2fr}\\ \end{array} \right.$

и в проекциях:

$\left\{ \begin{array}{rcl} ma_{1x}=F-F_{1fr} \\ Ma_{2x}=F_{2fr}-F_{3fr} \\ a_{1y}=a_{2y}=0 \\ N_1=mg\\ N_2=P+Mg \\ P = N_1\\ F_{1fr}=F_{2fr}\\ \end{array} \right.$

и после упрощения

$\left\{ \begin{array}{rcl} ma_{1x}=F-F_{1fr} \\ Ma_{2x}=F_{2fr}-F_{3fr} \\ F_{1fr}=F_{2fr} \leqslant \mu_1 mg\\ F_{3fr} \leqslant \mu_2 (m+M)g\\ \end{array} \right.$

В зависимости от заданных условий возможны 4 варианта поведения системы:

1. доска скользит по столу ($F_{3fr} < F_{2fr} $) и брусок скользит по доске ($F>F_{1fr}$)
2. доска скользит по столу ($F_{3fr} < F_{2fr} $) и брусок покоится на доске ($F=F_{1fr}$) и $a_1 = a_2$
3. доска покоится на столе ($F_{3fr} = F_{2fr} $) и брусок скользит по доске ($F>F_{1fr}$)
4. доска покоится на столе ($F_{3fr} = F_{2fr} $) и брусок покоится на доске ($F=F_{1fr}$) и $a_1 = a_2$

Вопросы следующие:
1. верно ли расставил все условия покоя и скольжения?
2. имеем систему с количеством неизвестных, большим, чем уравнений, еще и неравенства, решить в лоб не получится. Как определить, какой вариант здесь реализуется (по каким критериям)?

Даже если героически рассмотреть все 4 варианта, то как разумно здесь действовать?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1616416 писал(а):

имеем систему с количеством неизвестных, большим, чем уравнений, еще и неравенства, решить в лоб не получится. Как определить, какой вариант здесь реализуется (по каким критериям)?

Можно заметить, что $\mu_1N_1<\mu_2N_2$, так что доска по столу скользить не будет, и задача тривиальна.

Правда, в формулировке у вас ВИП:

Stensen в сообщении #1616416 писал(а):

лежит на гладком горизонтальном стол

Stensen в сообщении #1616416 писал(а):

между доской и столом $ \mu_2=0,2$

Слово "гладкий" подразумевает $\mu_2=0$.

Не переплелись ли тут две разные задачи в одну?

[Stensen]

DimaM в сообщении #1616418 писал(а):

В формулировке у вас ВИП:
Слово "гладкий" подразумевает $\mu_2=0$. Не переплелись ли тут две разные задачи в одну?

Предельно сорри, поправил. Да, переплелись, хотел рассмотреть общий случай для $\mu_2 > 0$

DimaM в сообщении #1616418 писал(а):

Можно заметить, что $\mu_1N_1<\mu_2N_2$, так что доска по столу скользить не будет, и задача тривиальна. [/math].

А как в общем случае? Например, если $\mu_2 = 0.1$ , тогда $\mu_1N_1> \mu_2N_2$

[DimaM]

Stensen в сообщении #1616422 писал(а):

Например, если $\mu_2 = 0.1$ , тогда $\mu_1N_1> \mu_2N_2$

Тогда по мере увеличения силы $F$ вначале начнет скользить доска по столу (ваш режим 2), а потом брусок по доске (ваш режим 1). Граница этих двух режимов - равные ускорения и $F_{1fr}=\mu_1N_1$. Режим 3 в таком случае не реализуется.
То есть, в зависимости от знака неравенства, возможны режимы 4-2-1 или 4-3 (по мере возрастания силы $F$).

[Stensen]

DimaM в сообщении #1616423 писал(а):

Stensen в сообщении #1616422 писал(а):

Например, если $\mu_2 = 0.1$ , тогда $\mu_1N_1> \mu_2N_2$

Тогда по мере увеличения силы $F$ вначале начнет скользить доска по столу (ваш режим 2), а потом брусок по доске (ваш режим 1). Граница этих двух режимов - равные ускорения и $F_{1fr}=\mu_1N_1$. Режим 3 в таком случае не реализуется.

Спасибо, вроде понятно.