Центробежная и центростремительная силы

[bejevii cetron]

Добрый день. Спасибо всем за помощь с вопросами. Спасибо Toolt за уточнение с фиксированным шариком до достижения постоянной скорости вращения, а иначе вопрос сводился к построению касательной к дуге и определению угла к радиусу (если угол радиуса с касательной больше 90 градусов, то покатится к середине дуги, а если угол меньше 90 градусов, то к раю дуги, если я правильно понял), а так узнал, что всё сложно и нужны непростые расчёты.
Но помогите ещё разобраться с шариком в трубе для ИСО. То, что наблюдатель будет видеть движение шарика как спираль я понимаю, ведь это сочетание движения по окружности и удаления от оси. Но появился дополнительный вопрос: если труба сама спираль как на картинке и вращение против часовой стрелки, то можно подобрать угловую скорость чтобы наблюдатель видел прямую траекторию шарика и вообще можно подбирать формы трубы и скорости, что можно рисовать разные узоры траекторией шарика?
Далее все для прямой трубы. (И ещё вопрос был о движение шарика после вылета из трубы, как соотноситься скорость движения шарика от оси с угловой скоростью и направлением вылета (не касательная?) и почему?).
И самое главное, я не понял как проводить расчёты в ИСО. Тут будут расчёты только чисто математическими формулами без названий значений потому что нельзя рассчитывать физическими формулами, так как центробежной силы нет, а шарик почему-то удаляется от оси? Как будет двигаться шарик, равноускоренно весь путь до вылета или достигнет максимальной скорости (движения от оси) зависящей от угловой скорости и дальше будет двигаться с постоянной скоростью? Если возможно, пожалуйста, объясните на примере: скорость 60 оборотов в минуту; масса шарика 200 грамм; длина (от оси=радиус) трубы 400 метров. Спасибо.

[wrest]

bejevii cetron
О какой трубе речь, из рисунка ничегоьне понятно...
В трубах шарики тоже ведут себя неинтуитивно, см например https://www.youtube.com/watch?v=XFKRW2P_K-E

[sergey zhukov]

bejevii cetron в сообщении #1617535 писал(а):

И самое главное, я не понял как проводить расчёты в ИСО. Тут будут расчёты только чисто математическими формулами без названий значений потому что нельзя рассчитывать физическими формулами, так как центробежной силы нет, а шарик почему-то удаляется от оси?

Что это за деление на физические и математические формулы? Не нужно так делить .Все формулы математические, а процессы, которые мы изучаем - физические.
Не нужно думать, что в ИСО на шарик вообще не действуют никакие силы. А как же давление стенки вращающейся трубы? В НИСО вращающейся трубы мы это давление стенки на шарик во внимание не принимали, т.к. оно действовало перпендикулярно движению шарика (и уравновешивалось силой Кориолиса на самом деле), а важна нам была только сила, действующая вдоль скорости шарика (т.е. центробежная сила).

Но в ИСО давление стенки трубы действует на шарик уже под некоторым углом к его скорости (ведь он движется не по кругу, а по спирали), и его (это давление) нужно учитывать. Понятно, что по кругу шарик может двигаться только под действием какой-нибудь постоянной центростремительной силы, но здесь у нас сила (да еще и переменная по величине) действует перпендикулярно радиусу. Так что круг не получится. Давление стенки трубы на шарик всегда перпендикулярно этой стенке (если трения нет). В ИСО получаем на первый взгляд сложную картину: шарик движется под действием силы давления стенки трубы, которая постоянно поворачивается и меняет свою величину. Проще эту задачу как раз решить в НИСО, а потом перенести решение в ИСО. Т.е. почему шарик движется по сложной кривой в ИСО - это понятно, но вычислить его движение в НИСО проще.

В НИСО на шарик действует центробежная сила, пропорциональная расстоянию от центра $S$ и равная $F=m\omega^2S$, где $\omega$ - угловая скорость вращения трубы. Ускорение шарика равно второй производной расстояния, пройденного шариком, по времени (т.е. $\frac{d^2S}{dt^2}$ или ее еще обозначают $\ddot{S}$). Т.е. из $F=ma$ получаем $m\omega^2S=m\ddot{S}$. Масса сокращается, а решение этого дифференциального уравнения есть $S(t)=S_0e^{(\omega t)}$ (здесь мы предполагаем, что в точке $S_0$ шарик уже имел радиальную скорость, которую он получил бы, стартуя из центра вращения).

Отсюда видно, что с течением времени расстояние от точки старта ($S_0$) вдоль трубы шарика будет возрастать экспоненциально, а сама труба (в ИСО) при этом будет равномерно поворачиваться. Если сложить эти два движения, то в ИСО получим логарифмическую спираль. Она примечательна тем, что касательная к ней образует с радиусом всегда один и тот же угол. Можете посмотреть ее в вики. От массы же ничего не зависит, только от скорости вращения трубы.

Если же решить это уравнение для условия, когда при $t=0$ $S=S_0$ и $\dot{S}=0$ (т.е. начальная радиальная скорость шарика в $S_0$ нулевая), то получим $S(t)=\frac{S_0}{2}(e^{\omega t}+e^{-\omega t})$. Это зависимость радиальной координаты шарика от времени. А угловая координата шарика просто равномерно увеличивается, т.е. $\varphi=\omega t$. Можете сюда подставить ваши цифры и самостоятельно все подсчитать.

-- 12.11.2023, 16:16 --

bejevii cetron в сообщении #1617535 писал(а):

Но появился дополнительный вопрос: если труба сама спираль как на картинке и вращение против часовой стрелки, то можно подобрать угловую скорость чтобы наблюдатель видел прямую траекторию шарика и вообще можно подбирать формы трубы и скорости, что можно рисовать разные узоры траекторией шарика?

Здесь нужно помнить, что сила давления стенки на шарик всегда перпендикулярна поверхности стенки (это если все гладкое и нет трения). Так что направление силы, действующей на шарик в любой точке, вы всегда знаете. А вот с величиной силы будет сложнее. Опять же эту задачу можно решать в НИСО, поскольку там нам всегда точно известна траектория шарика (она повторяет форму трубы), и остается лишь найти проекцию центробежной силы на ось трубы, чтобы найти движение шарика.