Задача из Кудрявцева том 1, пар 8, 100 (2)
Доказать, что последовательность

бесконечно большая, если
![$x_n=\sqrt[n]{n!}$ $x_n=\sqrt[n]{n!}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/4/af45a9006d00cccc30319a5762f82a8182.png)
Я доказал двумя интересными способами. Во-первых, среднее геометрическое не меньше среднего гармонического, а значит
![$$\sqrt[n]{n!}\geqslant\frac{n}{1+\frac12+\ldots+\frac1n}$$ $$\sqrt[n]{n!}\geqslant\frac{n}{1+\frac12+\ldots+\frac1n}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/2/e42a2c51a7240e82612c9005ae7e046482.png)
в знаменателе част. сумма гармонического ряда, который, конечно, расходится, но намного медленнее, чем

(тут бы какую-то простую оценку добавить, самая точная логарифмом не нужна).
Во-вторых можно воспользоваться теоремой Штольца, неожиданно, если логарифмировать:

Вопрос про какую-то удобную оценку гармонического ряда и про какие-то красивые решения :)